- 24 Tháng mười 2018
- 1,616
- 1,346
- 216
- 24
- TP Hồ Chí Minh
- Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP Hồ Chí Minh
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Hàm số [tex]y=\frac{ax^2+bx+c}{mx^2+nx+p}[/tex] có đồ thị (C).
Hàm số [tex]y=\frac{ax^2+bx+c}{mx^2+nx+p}[/tex] có 2 điểm cực trị [tex]x_1,x_2[/tex] là nghiệm của phương trình y'=0.
[tex]y'=(\frac{ax^2+bx+c}{mx^2+nx+p})'=\frac{(an-bm)x^2+(ap-cm)x+bp-cn}{(mx^2+nx+p)}[/tex]
[tex]y'=0<=>(an-bm)x^2+(ap-cm)x+bp-cn=0[/tex]
[tex]\left\{\begin{matrix} u=ax^2+bx+c\\ v=mx^2+nx+p \end{matrix}\right. =>\left\{\begin{matrix} u'=2ax+b\\ v'=2mx+n \end{matrix}\right.[/tex]
Do đó, thế vào ta được:
[tex]y=\frac{u}{v}=>y'=\frac{u'v-uv'}{v^2}[/tex]
Do [tex]y'(x_1)=y'(x_2)[/tex] nên
[tex]\left\{\begin{matrix} y(x_1)=\frac{u(x_1)}{v(x_1)}=\frac{u'(x_1)}{v'(x_1)}=\frac{2ax_1+b}{2mx_1+n}\\ y(x_2)=\frac{u(x_2)}{v(x_2)}=\frac{u'(x_2)}{v'(x_2)}=\frac{2ax_2+b}{2mx_2+n} \end{matrix}\right.[/tex]
Từ đó ta có nhận xét:
Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị: [tex]y=\frac{2ax+b+k.y'}{2mx+n}[/tex]
Cần tìm hệ số k sao cho phương trình [tex]2ax+b+k.y'=0[/tex] có nghiệm [tex]x=-\frac{n}{2m}[/tex]
Ví dụ: viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số [tex]y=\frac{x^2+mx+n}{x^2+1}[/tex]
Ta có: [tex]y=\frac{(x^2+mx+n)'}{(x^2+1)'}=\frac{2x+m}{2x}[/tex]
Nhận xét: 2 điểm cực trị thuộc đồ thị đường cong (H): [tex]y=\frac{2x+m}{2x}[/tex].
Có [tex]x_1, x_2[/tex] là 2 điểm cực trị, nên là nghiệm của phương trình [tex]y'=0[/tex] hay [tex]-mx^2+2(1-n)x+m=0[/tex].
[tex]y=\frac{2x+m+k.(-mx^2+2(1-n)x+m)}{2x}[/tex].
Chọn k sao cho [tex]2x+m+k.(-mx^2+2(1-n)x+m)=0[/tex] có nghiệm [tex]x=0[/tex].
[tex]m+k.m=0<=>k=-1[/tex]
Vậy nên đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị có phương trình: [tex]y=\frac{mx^2+2nx}{2x}=\frac{m}{2}x+n[/tex]
Hàm số [tex]y=\frac{ax^2+bx+c}{mx^2+nx+p}[/tex] có 2 điểm cực trị [tex]x_1,x_2[/tex] là nghiệm của phương trình y'=0.
[tex]y'=(\frac{ax^2+bx+c}{mx^2+nx+p})'=\frac{(an-bm)x^2+(ap-cm)x+bp-cn}{(mx^2+nx+p)}[/tex]
[tex]y'=0<=>(an-bm)x^2+(ap-cm)x+bp-cn=0[/tex]
[tex]\left\{\begin{matrix} u=ax^2+bx+c\\ v=mx^2+nx+p \end{matrix}\right. =>\left\{\begin{matrix} u'=2ax+b\\ v'=2mx+n \end{matrix}\right.[/tex]
Do đó, thế vào ta được:
[tex]y=\frac{u}{v}=>y'=\frac{u'v-uv'}{v^2}[/tex]
Do [tex]y'(x_1)=y'(x_2)[/tex] nên
[tex]\left\{\begin{matrix} y(x_1)=\frac{u(x_1)}{v(x_1)}=\frac{u'(x_1)}{v'(x_1)}=\frac{2ax_1+b}{2mx_1+n}\\ y(x_2)=\frac{u(x_2)}{v(x_2)}=\frac{u'(x_2)}{v'(x_2)}=\frac{2ax_2+b}{2mx_2+n} \end{matrix}\right.[/tex]
Từ đó ta có nhận xét:
2 điểm cực trị của đồ thị hàm số thuộc đường cong (H): [tex]y=\frac{2ax+b}{2mx+n}[/tex]
Tìm cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị.Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị: [tex]y=\frac{2ax+b+k.y'}{2mx+n}[/tex]
Cần tìm hệ số k sao cho phương trình [tex]2ax+b+k.y'=0[/tex] có nghiệm [tex]x=-\frac{n}{2m}[/tex]
Ví dụ: viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số [tex]y=\frac{x^2+mx+n}{x^2+1}[/tex]
Ta có: [tex]y=\frac{(x^2+mx+n)'}{(x^2+1)'}=\frac{2x+m}{2x}[/tex]
Nhận xét: 2 điểm cực trị thuộc đồ thị đường cong (H): [tex]y=\frac{2x+m}{2x}[/tex].
Có [tex]x_1, x_2[/tex] là 2 điểm cực trị, nên là nghiệm của phương trình [tex]y'=0[/tex] hay [tex]-mx^2+2(1-n)x+m=0[/tex].
[tex]y=\frac{2x+m+k.(-mx^2+2(1-n)x+m)}{2x}[/tex].
Chọn k sao cho [tex]2x+m+k.(-mx^2+2(1-n)x+m)=0[/tex] có nghiệm [tex]x=0[/tex].
[tex]m+k.m=0<=>k=-1[/tex]
Vậy nên đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị có phương trình: [tex]y=\frac{mx^2+2nx}{2x}=\frac{m}{2}x+n[/tex]
