- 27 Tháng mười 2018
- 3,742
- 3,706
- 561
- Hà Nội
- Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
2 đường thẳng [TEX]d_1,d_2[/TEX] trong không gian có 4 vị trí tương đối:
+ [TEX]d_1//d_2[/TEX] khi cặp vtcp [tex]\overrightarrow{u_1}=k\overrightarrow{u_2}[/tex] và với M thuộc [TEX]d_1[/TEX] thì M không thuộc [TEX]d_2[/TEX]
+ [TEX]d_1[/TEX] trùng [TEX]d_2[/TEX] khi cặp vtcp [tex]\overrightarrow{u_1}=k\overrightarrow{u_2}[/tex] và với M thuộc [TEX]d_1[/TEX] thì M cũng thuộc [TEX]d_2[/TEX]
+ [TEX]d_1[/TEX] cắt [TEX]d_2[/TEX] khi chúng có 1 điểm chung duy nhất, [tex]\overrightarrow{u_1} \neq k\overrightarrow{u_2}[/tex]
+[TEX]d_1[/TEX] chéo [TEX]d_2[/TEX] khi [tex]\overrightarrow{u_1} \neq k\overrightarrow{u_2}[/tex] và chúng không có điểm chung nào
Các bài toán về vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng, đầu tiên ta xét cặp vtcp xem chúng có song song hoặc trùng nhau hay không. Nếu không thì chúng sẽ cắt hoặc chéo nhau. Việc xét tính cắt hay chéo nhau được làm như ví dụ dưới.
* Xét vị trí tương đối của các đường thẳng sau:
a. [tex]d_1: \frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-3}{3},d_2: \frac{x}{2}=\frac{y-2}{4}=\frac{z-3}{6}[/tex]
Ta có: [tex]u_1=(1;2;3),u_2=(2;4;6)=2\overrightarrow{u_1}[/tex]
Đồng thời: M(1;2;3) thuộc [TEX]d_1[/TEX] nhưng thay tọa độ của M vào [TEX]d_2[/TEX] không thỏa mãn
=>[TEX]d_1//d_2[/TEX]
b. [tex]d_1: \frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{3},d_2:\frac{x-3}{-1}=\frac{y-3}{-2}=\frac{z+2}{1}[/tex]
Ta có:[tex]\overrightarrow{u_1}=(2;2;3),\overrightarrow{u_2}=(-1;-2;1)[/tex]
[tex]\frac{2}{-1}\neq \frac{2}{-2}[/tex] nên [TEX]d_1[/TEX] chéo hoặc cắt [TEX]d_2[/TEX].
Cách 1: Gọi M(1;-1;0) thuộc [TEX]d_1[/TEX], N(3;3;-2) thuộc [TEX]d_2[/TEX]
=>[tex]\overrightarrow{MN}=(2;4;-2)[/tex]
Khi [TEX]d_1[/TEX] cắt [TEX]d_2[/TEX] thì [TEX]d_1,d_2[/TEX] đồng phẳng với MN, gọi mặt phẳng chứa là (P). Do (P) chứa MN nên vtpt của (P) vuông góc đồng thời với MN,[tex]\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}[/tex]
=> [tex]\overrightarrow{n}=[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}]=[(2;2;3),(-1;-2;1)]=(8;-5;-2)[/tex]
Mà: [tex]\overrightarrow{n}.\overrightarrow{MN}=2.8+4.(-5)+(-2).(-2)=0[/tex]
=> MN vuông góc với [tex]\overrightarrow{n}[/tex] , điều kiện đồng phẳng được thỏa mãn => [TEX]d_1[/TEX] cắt [TEX]d_2[/TEX]
Cách 2: Giải hệ tìm giao điểm, nếu hệ có nghiệm, thì tức là [TEX]d_1[/TEX] cắt [TEX]d_2[/TEX]. Còn nếu hệ vô nghiệm, thì [TEX]d_1[/TEX] chéo [TEX]d_2[/TEX].
Gọi M là giao điểm cần tìm, tọa độ của M rõ ràng phải thỏa mãn cả hệ [TEX]d_1[/TEX] và [TEX]d_2[/TEX], do đó ta có:
[tex]\left\{\begin{matrix} \frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{2}\\ \frac{x-3}{-1}=\frac{y-3}{-2} \end{matrix}\right. <=>\left\{\begin{matrix} 2x-2y-4=0\\ -2x+y+3=0 \end{matrix}\right. <=>x=1,y=-1[/tex]
Với x=1,y=-1, thay vào [TEX]d_1[/TEX]ta được bộ 3 tỉ số bằng 0 =>[TEX]z/3=0<=>z=0[/TEX]
Thay vào [TEX]d_2[/TEX] ta được bộ 3 tỉ số bằng 2 => [TEX]z+2=2<=>z=0[/TEX]
2 giá trị z tìm được là bằng nhau, vậy hệ có nghiệm, do đó [TEX]d_1[/TEX] cắt [TEX]d_2[/TEX]
* Nhận xét: với bài toán thông thường, thì dùng cách 1 nên có máy tính và nhập liệu tính tích vecto, tránh nhầm lẫn, còn bài toán có tham số m nên dùng cách 2 sẽ nhanh gọn hơn.
* Biện luận m để 2 đường thẳng dưới đây cắt nhau:
[tex]d_1: \frac{x}{2}=\frac{y}{2}=\frac{z}{3},d_2:\frac{x-3}{-1}=\frac{y-3}{-2}=\frac{z+m}{1}[/tex]
Ta có pt tọa độ giao điểm:
[tex]\left\{\begin{matrix} \frac{x}{2}=\frac{y}{2}\\ \frac{x-3}{-1}=\frac{y-3}{-2} \end{matrix}\right. <=>\left\{\begin{matrix} x-y=0\\ -2x+y+3=0 \end{matrix}\right. <=>x=y=3[/tex]
Thay vào [TEX]d_1=>z=9/2[/TEX]
Thay x=y=3 vào [TEX]d_2[/TEX] có tỉ số bằng 0
=>[tex]\frac{9}{2}+m=0<=>m=-\frac{9}{2}[/tex]
+ [TEX]d_1//d_2[/TEX] khi cặp vtcp [tex]\overrightarrow{u_1}=k\overrightarrow{u_2}[/tex] và với M thuộc [TEX]d_1[/TEX] thì M không thuộc [TEX]d_2[/TEX]
+ [TEX]d_1[/TEX] trùng [TEX]d_2[/TEX] khi cặp vtcp [tex]\overrightarrow{u_1}=k\overrightarrow{u_2}[/tex] và với M thuộc [TEX]d_1[/TEX] thì M cũng thuộc [TEX]d_2[/TEX]
+ [TEX]d_1[/TEX] cắt [TEX]d_2[/TEX] khi chúng có 1 điểm chung duy nhất, [tex]\overrightarrow{u_1} \neq k\overrightarrow{u_2}[/tex]
+[TEX]d_1[/TEX] chéo [TEX]d_2[/TEX] khi [tex]\overrightarrow{u_1} \neq k\overrightarrow{u_2}[/tex] và chúng không có điểm chung nào
Các bài toán về vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng, đầu tiên ta xét cặp vtcp xem chúng có song song hoặc trùng nhau hay không. Nếu không thì chúng sẽ cắt hoặc chéo nhau. Việc xét tính cắt hay chéo nhau được làm như ví dụ dưới.
* Xét vị trí tương đối của các đường thẳng sau:
a. [tex]d_1: \frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-3}{3},d_2: \frac{x}{2}=\frac{y-2}{4}=\frac{z-3}{6}[/tex]
Ta có: [tex]u_1=(1;2;3),u_2=(2;4;6)=2\overrightarrow{u_1}[/tex]
Đồng thời: M(1;2;3) thuộc [TEX]d_1[/TEX] nhưng thay tọa độ của M vào [TEX]d_2[/TEX] không thỏa mãn
=>[TEX]d_1//d_2[/TEX]
b. [tex]d_1: \frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{3},d_2:\frac{x-3}{-1}=\frac{y-3}{-2}=\frac{z+2}{1}[/tex]
Ta có:[tex]\overrightarrow{u_1}=(2;2;3),\overrightarrow{u_2}=(-1;-2;1)[/tex]
[tex]\frac{2}{-1}\neq \frac{2}{-2}[/tex] nên [TEX]d_1[/TEX] chéo hoặc cắt [TEX]d_2[/TEX].
Cách 1: Gọi M(1;-1;0) thuộc [TEX]d_1[/TEX], N(3;3;-2) thuộc [TEX]d_2[/TEX]
=>[tex]\overrightarrow{MN}=(2;4;-2)[/tex]
Khi [TEX]d_1[/TEX] cắt [TEX]d_2[/TEX] thì [TEX]d_1,d_2[/TEX] đồng phẳng với MN, gọi mặt phẳng chứa là (P). Do (P) chứa MN nên vtpt của (P) vuông góc đồng thời với MN,[tex]\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}[/tex]
=> [tex]\overrightarrow{n}=[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}]=[(2;2;3),(-1;-2;1)]=(8;-5;-2)[/tex]
Mà: [tex]\overrightarrow{n}.\overrightarrow{MN}=2.8+4.(-5)+(-2).(-2)=0[/tex]
=> MN vuông góc với [tex]\overrightarrow{n}[/tex] , điều kiện đồng phẳng được thỏa mãn => [TEX]d_1[/TEX] cắt [TEX]d_2[/TEX]
Cách 2: Giải hệ tìm giao điểm, nếu hệ có nghiệm, thì tức là [TEX]d_1[/TEX] cắt [TEX]d_2[/TEX]. Còn nếu hệ vô nghiệm, thì [TEX]d_1[/TEX] chéo [TEX]d_2[/TEX].
Gọi M là giao điểm cần tìm, tọa độ của M rõ ràng phải thỏa mãn cả hệ [TEX]d_1[/TEX] và [TEX]d_2[/TEX], do đó ta có:
[tex]\left\{\begin{matrix} \frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{2}\\ \frac{x-3}{-1}=\frac{y-3}{-2} \end{matrix}\right. <=>\left\{\begin{matrix} 2x-2y-4=0\\ -2x+y+3=0 \end{matrix}\right. <=>x=1,y=-1[/tex]
Với x=1,y=-1, thay vào [TEX]d_1[/TEX]ta được bộ 3 tỉ số bằng 0 =>[TEX]z/3=0<=>z=0[/TEX]
Thay vào [TEX]d_2[/TEX] ta được bộ 3 tỉ số bằng 2 => [TEX]z+2=2<=>z=0[/TEX]
2 giá trị z tìm được là bằng nhau, vậy hệ có nghiệm, do đó [TEX]d_1[/TEX] cắt [TEX]d_2[/TEX]
* Nhận xét: với bài toán thông thường, thì dùng cách 1 nên có máy tính và nhập liệu tính tích vecto, tránh nhầm lẫn, còn bài toán có tham số m nên dùng cách 2 sẽ nhanh gọn hơn.
* Biện luận m để 2 đường thẳng dưới đây cắt nhau:
[tex]d_1: \frac{x}{2}=\frac{y}{2}=\frac{z}{3},d_2:\frac{x-3}{-1}=\frac{y-3}{-2}=\frac{z+m}{1}[/tex]
Ta có pt tọa độ giao điểm:
[tex]\left\{\begin{matrix} \frac{x}{2}=\frac{y}{2}\\ \frac{x-3}{-1}=\frac{y-3}{-2} \end{matrix}\right. <=>\left\{\begin{matrix} x-y=0\\ -2x+y+3=0 \end{matrix}\right. <=>x=y=3[/tex]
Thay vào [TEX]d_1=>z=9/2[/TEX]
Thay x=y=3 vào [TEX]d_2[/TEX] có tỉ số bằng 0
=>[tex]\frac{9}{2}+m=0<=>m=-\frac{9}{2}[/tex]