- 24 Tháng mười 2018
- 1,616
- 1,346
- 216
- 24
- TP Hồ Chí Minh
- Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP Hồ Chí Minh
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Để giải các bài toán GTLN, GTNN số phức, học sinh cần phải nắm được 1 số vấn đề cơ bản:
- tính chất của số phức, các phép toán với số phức.
- biểu diễn số phức trên mặt phẳng.
- các bất đẳng thức cơ bản, tìm GTLN, GTNN bằng khảo sát hàm số.
xét một số ví dụ sau:
ví dụ 1:
Cho các số phức [tex]z_1=1+3i,z_2=-5-3i[/tex]. Tìm điểm M(x;y) biểu diễn số phức [tex]z_3[/tex] biết rằng điểm M nằm trên đường thẳng x-2y+1=0 và số phức [tex]w=3z_3-z_2-2z_1[/tex] có giá trị nhỏ nhất.
giải:
ta tham số điểm M theo phương trình đường thẳng, ta được:
[tex]M(2y-1;y) => z_3=2y-1+y.i[/tex]
và [tex]w=3(2y-1+yi)-(-5-3i)+2(1+3i)=6y+(3y-3)i[/tex]
do đó: [tex]|w|=|6y+(3y-3)i|=\sqrt{(6y)^2+(3y-3)^2}=3\sqrt{5(y-\frac{1}{5})^2+\frac{4}{5}}\geq \frac{6}{\sqrt{5}}[/tex]
dấu bằng xảy ra khi: [tex]y=\frac{1}{5}=>M(\frac{-3}{5};\frac{1}{5})[/tex]
vậy, điểm M cần tìm là [tex]M(\frac{-3}{5};\frac{1}{5})[/tex]
ví dụ 2:
cho số phức z thỏa mãn: [tex]|(z+2)i+1|+|(\overline{z}-2)i-1|=6[/tex]. tính tổng [tex]T=max|z|+min|z|[/tex]
giải:
đặt [tex]z=a+bi[/tex], thế vào điều kiện của đề bài, ta có:
[tex]|(a+bi+2)i+1|+|(a-bi-2)i-1|=6[/tex]
[tex]<=>\sqrt{(a+2)^2+(1-b)^2}+\sqrt{(a-2)^2+(-1+b)^2}=6[/tex]
[tex]<=>5(9-a^2)=9(b-1^2)[/tex]
[tex]<=>a^2=\frac{45-9(b-1)^2}{5}\geq 0[/tex]
[tex]<=>1-\sqrt{5}\leq b\leq 1+\sqrt{5}[/tex]
khi đó: [tex]|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{\frac{45-9(b-1)^2}{5}+b^2}[/tex]
khảo sát hàm bậc 2 trên đoạn [tex][1-\sqrt{5};1+\sqrt{5}][/tex], ta tìm được:
[tex]min|z|=y(\frac{9}{4})=\frac{3\sqrt{5}}{2}[/tex]
[tex]min|z|=y(1-\sqrt{5})=\sqrt{5}-1[/tex]
vậy, ta tìm được tổng [tex]T=\frac{3\sqrt{5}}{2}+\sqrt{5}-1=\frac{5\sqrt{5}-2}{2}[/tex]
- tính chất của số phức, các phép toán với số phức.
- biểu diễn số phức trên mặt phẳng.
- các bất đẳng thức cơ bản, tìm GTLN, GTNN bằng khảo sát hàm số.
xét một số ví dụ sau:
ví dụ 1:
Cho các số phức [tex]z_1=1+3i,z_2=-5-3i[/tex]. Tìm điểm M(x;y) biểu diễn số phức [tex]z_3[/tex] biết rằng điểm M nằm trên đường thẳng x-2y+1=0 và số phức [tex]w=3z_3-z_2-2z_1[/tex] có giá trị nhỏ nhất.
giải:
ta tham số điểm M theo phương trình đường thẳng, ta được:
[tex]M(2y-1;y) => z_3=2y-1+y.i[/tex]
và [tex]w=3(2y-1+yi)-(-5-3i)+2(1+3i)=6y+(3y-3)i[/tex]
do đó: [tex]|w|=|6y+(3y-3)i|=\sqrt{(6y)^2+(3y-3)^2}=3\sqrt{5(y-\frac{1}{5})^2+\frac{4}{5}}\geq \frac{6}{\sqrt{5}}[/tex]
dấu bằng xảy ra khi: [tex]y=\frac{1}{5}=>M(\frac{-3}{5};\frac{1}{5})[/tex]
vậy, điểm M cần tìm là [tex]M(\frac{-3}{5};\frac{1}{5})[/tex]
ví dụ 2:
cho số phức z thỏa mãn: [tex]|(z+2)i+1|+|(\overline{z}-2)i-1|=6[/tex]. tính tổng [tex]T=max|z|+min|z|[/tex]
giải:
đặt [tex]z=a+bi[/tex], thế vào điều kiện của đề bài, ta có:
[tex]|(a+bi+2)i+1|+|(a-bi-2)i-1|=6[/tex]
[tex]<=>\sqrt{(a+2)^2+(1-b)^2}+\sqrt{(a-2)^2+(-1+b)^2}=6[/tex]
[tex]<=>5(9-a^2)=9(b-1^2)[/tex]
[tex]<=>a^2=\frac{45-9(b-1)^2}{5}\geq 0[/tex]
[tex]<=>1-\sqrt{5}\leq b\leq 1+\sqrt{5}[/tex]
khi đó: [tex]|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{\frac{45-9(b-1)^2}{5}+b^2}[/tex]
khảo sát hàm bậc 2 trên đoạn [tex][1-\sqrt{5};1+\sqrt{5}][/tex], ta tìm được:
[tex]min|z|=y(\frac{9}{4})=\frac{3\sqrt{5}}{2}[/tex]
[tex]min|z|=y(1-\sqrt{5})=\sqrt{5}-1[/tex]
vậy, ta tìm được tổng [tex]T=\frac{3\sqrt{5}}{2}+\sqrt{5}-1=\frac{5\sqrt{5}-2}{2}[/tex]
