Bài 42.
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC suy ra [tex]\left | \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}\right | = \left |3 \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC}\right | = 3MG[/tex]
Gọi I là điểm thỏa mãn: [tex]\overrightarrow{IA} - \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{IC} = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow{IC} = \overrightarrow{AB}[/tex]
Như vậy, I là đỉnh thứ tư trong ABCI và I là điểm cố định.
Gọi D là giao điểm của GI và AC, dễ chứng minh được D là trung điểm AC.
Suy ra:
[tex]3\left | \overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}\right |= 3\left | \left ( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} \right )- \left ( \overrightarrow{MI}+ \overrightarrow{IB}\right ) + \left ( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC} \right ) \right |[/tex]
[tex]= 3\left | \overrightarrow{MI}+ \left ( \overrightarrow{IA} - \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} \right ) \right | =3\left | \overrightarrow{MI} \right | = 3MI [/tex]
Như vậy: $ T=3MG + 3MI = 3(MG+MI) $
T nhỏ nhất khi và chỉ khi $ MG + MI $ nhỏ nhất. Theo bất đẳng thức tam giác thì $MG + MI \geq GI$.
Dấu bằng xảy ra khi $M, G, I$ thẳng hàng hay M trùng với D
Do G là trọng tâm tam giác đều ABC nên theo cách dựng thì AIC cũng đều, ta có: $GD= \frac{a\sqrt{3}}{3}$ và $DI = \frac{a\sqrt{3}}{2} $
Vậy [tex]T_{min} = 3GI = 3(GD+DI)= 3(\frac{a\sqrt{3}}{3}+ \frac{a\sqrt{3}}{2}) = \frac{5 a\sqrt{3}}{2}[/tex]
Có gì thắc mắc bạn hỏi để được giải đáp nhé
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
