Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) có các đường cao AE và CF cắt nhau tại H. Gọi P là điểm thuộc cung nhỏ BC (P khác B, C). M, N lần lượt là hình chiếu của P trên các đường thẳng AB, AC. Chứng minh rằng:
1) [tex]CotA+cotB+cotC\geq \sqrt{3}[/tex].
2) [tex]OB\perp EF[/tex] và [tex]BH=EF[/tex].
3) Đường thẳng MN đi qua trung điểm của đoạn thẳng HP.
Không biết bạn có học các định lý hàm lượng giác chưa nhỉ?
1)Đầu tiên cần chứng minh công thức: [tex]cot A + cot B +cot C=\frac{a^2+b^2+c^2}{4S}[/tex]
Ta có:[tex]S=\frac{1}{2}ab sinC=\frac{1}{2}bc sin A=\frac{1}{2}ac sinB\Rightarrow \left\{\begin{matrix} ab=\frac{2S}{sinC}\\ bc=\frac{2S}{sinA}\\ ac=\frac{2S}{sinB} \end{matrix}\right.[/tex](1)
Lại có:[tex]\left\{\begin{matrix} a^2=b^2+c^2-2bc cosA\\ b^2=c^2+a^2-2ac cos B\\ c^2=a^2+b^2-2ab cosC \end{matrix}\right.[/tex](định lý hàm cos)
[tex]\Rightarrow a^2+b^2+c^2=2bccosA+2accosB + 2abcos C[/tex]
Thay (1) vào ta có: [tex]a^2+b^2+c^2=4S(\frac{cosA}{sinA}+\frac{cosB}{sinB}+\frac{cosC}{sinC})=4S(cotA+cotB+cotC)\Rightarrow cotA+cotB+cotC =\frac{a^2+b^2+c^2}{4S}[/tex]
Mà theo công thức Hê-rông, ta có:[tex]S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\leq \sqrt{p.(\frac{p-a+p-b+p-c}{3})^3}=\sqrt{p.\frac{p^3}{27}}=\frac{p^2}{3\sqrt{3}}=\frac{(a+b+c)^2}{12\sqrt{3}}\leq \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{12\sqrt{3}}=\frac{a^2+b^2+c^2}{4\sqrt{3}}\Rightarrow a^2+b^2+c^2\geq 4\sqrt{3}S[/tex]
Thay vào kết quả vừa tìm được, ta có đpcm.
2) Mình chỉ làm câu đầu thôi, vế sau sai đề rồi..
Gọi giao điểm thứ 2 của các đường cao CF và AE với đường tròn là I và K.
Ta có: [tex]\angle HFE=\angle HAC(cm bằng tam giác đồng dạng);\angle HAC=\angle CIK\Rightarrow \angle HFE=\angle CIK\Rightarrow EF//IK[/tex]
Lại có:[tex]\angle BAK=\angle BCI \Rightarrow cung BR=cungRS\Rightarrow OB\perp IK\Rightarrow OB\perp EF[/tex]
3)Lấy điểm đối xứng với P qua AB và AC lần lượt là P' và P''.
Ta có: [tex]\angle APB=\angle AP'B;\angle APB=\angle ACB;\angle ACB=\angle BFE;\angle BFE=\angle BHE\Rightarrow \angle AP'B=\angle BHE[/tex][tex]\Rightarrow \angle AP'B+\angle AHB=180^o[/tex][tex]\Rightarrow AP'BH nội tiếp \Rightarrow \angle AHP'=\angle ABP'=\angle ABP[/tex]
Tương tự, ta cũng chứng minh được [tex]\angle AHP''=\angle ACP[/tex]
Mà ABCP nội tiếp [tex]\Rightarrow \angle ABP+\angle ACP=180^o\Rightarrow \angle AHP'+\angle AHP''=180^o\Rightarrow P',H,P'' thẳng hàng[/tex]
Mà M là trung điểm PP', N là trung điểm PP'' nên MN đi qua trung điểm PH.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
