- 27 Tháng mười 2018
- 3,742
- 3,706
- 561
- Hà Nội
- Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
* Lý thuyết: Để vận dụng được hệ thức Vi-ét cho phương trình : [TEX]ax^2+bx+c=0[/TEX]
Điều kiện không được quên đó là phải giải: [TEX]\Delta >0[/TEX] ([TEX]a \neq 0[/TEX])
Khi đó ta có: [tex]\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=\frac{-b}{a}\\ x_1x_2=\frac{c}{a} \end{matrix}\right.[/tex]
Để giải các bài toán liên quan đến biện luận tham số m để 2 nghiệm của phương trình bậc hai thỏa mãn 1 điều kiện nào nó, ta cần biến đổi biểu thức đã cho sao cho có các số hạng ( hoặc thừa số): [TEX]x_1+x_2;x_1x_2[/TEX] để có thể áp dụng Vi-ét và thế giá trị của m. Trường hợp biểu thức quá khó để biến đổi về dạng trên, thì có thể là bài toán không cần dùng Vi-ét, có thể dùng [TEX]\Delta[/TEX] để tính các nghiệm theo m, và thế vào biểu thức.
* Một số bài toán :
Bài 1: Cho phương trình: [TEX]x^2-2(m+1)x+4(m+1)=0[/TEX] có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn: [TEX]x_1+2x_2=5[/TEX] (1)
Giải: Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì ta phải có:
[tex]\Delta '>0<=>(m+1)^2-4(m+1)> 0<=>(m+1)(m-3)>0<=>m>3[/tex] hoặc [TEX]m<-1[/TEX]
Áp dụng Vi-ét ta có:
[tex]\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2(m+1)\\ x_1x_2=4(m+1) \end{matrix}\right.[/tex]
Từ Vi-ét và từ (1) ta có hệ phương trình:
[tex]\left\{\begin{matrix} x_1+2x_2=5\\ x_1+x_2=2(m+1) \end{matrix}\right. <=>\left\{\begin{matrix} x_2=3-2m\\ x_1=4m-1 \end{matrix}\right.[/tex]
Do [TEX]x_1x_2=4(m+1)[/TEX] nên ta có:
[TEX](3-2m)(4m-1)=4(m+1)<=>8m^2-10m+7=0[/TEX] (vô nghiệm)
Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn.
Như vậy, ở dạng: Tìm m để biểu thức nghiệm: [TEX]ax_1+bx_2=c[/TEX] ([TEX]a \neq b[/TEX])
Thì đây là cách làm chung cho dạng bài này, ta luôn dùng điều kiện đề cho và tổng S trong Vi-ét, để giải 2 nghiệm theo m. Từ đó thế vào P ta sẽ có 1 phương trình của m. Việc còn lại là kiểm nghiệm so với điều kiện [TEX]\Delta>0[/TEX]
Bài 2: Cho phương trình : [TEX]x^2+2(m+2)x+(m+3)=0[/TEX]. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt [TEX]x_1,x_2[/TEX] thỏa mãn [TEX]x_1^2+x_2^2=2[/TEX]
Giải: [TEX]\Delta'>0<=>(m+2)^2-(m+3)>0<=>m^2+3m+1>0[/TEX]
Áp dụng Vi-ét : [tex]\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=-2(m+2)\\ x_1x_2=m+3 \end{matrix}\right.[/tex]
Ta có: [TEX]x_1^2+x_2^2=2<=>(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=2[/TEX]
Lúc này thay Vi-ét ta được: [TEX]4(m+2)^2-2(m+3)=2<=>2m^2+8m+8-(m+3)-1=0[/TEX]
<=>[TEX]2m^2+7m+4=0[/TEX]<=>[tex]m=\frac{-7+\sqrt{17}}{4}[/tex] hoặc [TEX]m=\frac{-7-\sqrt{17}}{4}[/TEX]
Thay cả 2 giá trị này vào biểu thức [TEX]\Delta[/TEX] đều thỏa mãn. Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn.
Bài 3: Cho phương trình : [TEX]x^2+(m-2)x+2(m+3)=0[/TEX](1). Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt [TEX]x_1,x_2[/TEX] thỏa mãn [TEX]x_1^2+(m-3)x_1+2m+4-x_2=6[/TEX]
Giải: [TEX]\Delta>0<=>(m-2)^2-4.2(m+3)>0<=>m^2-12m-8>0[/TEX]
Biểu thức dạng nhìn rất phức tạp thế này, có cả m, thì các bạn phải tận dụng cái phương trình ban đầu để tối giản hóa biểu thức. Cụ thể, do [TEX]x_1[/TEX] là nghiệm nên ta có: [TEX]x_1^2+(m-2)x_1+2(m+3)=0[/TEX]
Do đó ta biến đổi: [TEX]x_1^2+(m-3)x_1+2m+4-x_2=6<=>x_1^2+(m-2)x_1+2(m+3)-(x_1+x_2)-2=6[/TEX]
<=>[TEX](x_1+x_2)=-8[/TEX]
Lúc này thay Vi-ét ta có: [TEX]2-m=-8<=>m=10[/TEX]
m=10 thay vào không thỏa mãn [TEX]\Delta>0[/TEX], do vậy ta không có giá trị nào của m thỏa mãn.
Điều kiện không được quên đó là phải giải: [TEX]\Delta >0[/TEX] ([TEX]a \neq 0[/TEX])
Khi đó ta có: [tex]\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=\frac{-b}{a}\\ x_1x_2=\frac{c}{a} \end{matrix}\right.[/tex]
Để giải các bài toán liên quan đến biện luận tham số m để 2 nghiệm của phương trình bậc hai thỏa mãn 1 điều kiện nào nó, ta cần biến đổi biểu thức đã cho sao cho có các số hạng ( hoặc thừa số): [TEX]x_1+x_2;x_1x_2[/TEX] để có thể áp dụng Vi-ét và thế giá trị của m. Trường hợp biểu thức quá khó để biến đổi về dạng trên, thì có thể là bài toán không cần dùng Vi-ét, có thể dùng [TEX]\Delta[/TEX] để tính các nghiệm theo m, và thế vào biểu thức.
* Một số bài toán :
Bài 1: Cho phương trình: [TEX]x^2-2(m+1)x+4(m+1)=0[/TEX] có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn: [TEX]x_1+2x_2=5[/TEX] (1)
Giải: Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì ta phải có:
[tex]\Delta '>0<=>(m+1)^2-4(m+1)> 0<=>(m+1)(m-3)>0<=>m>3[/tex] hoặc [TEX]m<-1[/TEX]
Áp dụng Vi-ét ta có:
[tex]\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2(m+1)\\ x_1x_2=4(m+1) \end{matrix}\right.[/tex]
Từ Vi-ét và từ (1) ta có hệ phương trình:
[tex]\left\{\begin{matrix} x_1+2x_2=5\\ x_1+x_2=2(m+1) \end{matrix}\right. <=>\left\{\begin{matrix} x_2=3-2m\\ x_1=4m-1 \end{matrix}\right.[/tex]
Do [TEX]x_1x_2=4(m+1)[/TEX] nên ta có:
[TEX](3-2m)(4m-1)=4(m+1)<=>8m^2-10m+7=0[/TEX] (vô nghiệm)
Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn.
Như vậy, ở dạng: Tìm m để biểu thức nghiệm: [TEX]ax_1+bx_2=c[/TEX] ([TEX]a \neq b[/TEX])
Thì đây là cách làm chung cho dạng bài này, ta luôn dùng điều kiện đề cho và tổng S trong Vi-ét, để giải 2 nghiệm theo m. Từ đó thế vào P ta sẽ có 1 phương trình của m. Việc còn lại là kiểm nghiệm so với điều kiện [TEX]\Delta>0[/TEX]
Bài 2: Cho phương trình : [TEX]x^2+2(m+2)x+(m+3)=0[/TEX]. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt [TEX]x_1,x_2[/TEX] thỏa mãn [TEX]x_1^2+x_2^2=2[/TEX]
Giải: [TEX]\Delta'>0<=>(m+2)^2-(m+3)>0<=>m^2+3m+1>0[/TEX]
Áp dụng Vi-ét : [tex]\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=-2(m+2)\\ x_1x_2=m+3 \end{matrix}\right.[/tex]
Ta có: [TEX]x_1^2+x_2^2=2<=>(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=2[/TEX]
Lúc này thay Vi-ét ta được: [TEX]4(m+2)^2-2(m+3)=2<=>2m^2+8m+8-(m+3)-1=0[/TEX]
<=>[TEX]2m^2+7m+4=0[/TEX]<=>[tex]m=\frac{-7+\sqrt{17}}{4}[/tex] hoặc [TEX]m=\frac{-7-\sqrt{17}}{4}[/TEX]
Thay cả 2 giá trị này vào biểu thức [TEX]\Delta[/TEX] đều thỏa mãn. Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn.
Bài 3: Cho phương trình : [TEX]x^2+(m-2)x+2(m+3)=0[/TEX](1). Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt [TEX]x_1,x_2[/TEX] thỏa mãn [TEX]x_1^2+(m-3)x_1+2m+4-x_2=6[/TEX]
Giải: [TEX]\Delta>0<=>(m-2)^2-4.2(m+3)>0<=>m^2-12m-8>0[/TEX]
Biểu thức dạng nhìn rất phức tạp thế này, có cả m, thì các bạn phải tận dụng cái phương trình ban đầu để tối giản hóa biểu thức. Cụ thể, do [TEX]x_1[/TEX] là nghiệm nên ta có: [TEX]x_1^2+(m-2)x_1+2(m+3)=0[/TEX]
Do đó ta biến đổi: [TEX]x_1^2+(m-3)x_1+2m+4-x_2=6<=>x_1^2+(m-2)x_1+2(m+3)-(x_1+x_2)-2=6[/TEX]
<=>[TEX](x_1+x_2)=-8[/TEX]
Lúc này thay Vi-ét ta có: [TEX]2-m=-8<=>m=10[/TEX]
m=10 thay vào không thỏa mãn [TEX]\Delta>0[/TEX], do vậy ta không có giá trị nào của m thỏa mãn.
