CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ
Máy tính điện tử Casio fx - 570 MS có nhiều đặc điểm ưu việt hơn các MTBT khác. Sử dụng MTĐT Casio fx - 570 MS lập trình tính các số hạng của một dãy số là một ví dụ. Nếu biết cách sử dụng đúng, hợp lý một quy trình bấm phím sẽ cho kết quả nhanh, chính xác. Ngoài việc MTBT giúp cho việc giảm đáng kể thời gian tính toán trong một giờ học mà từ kết quả tính toán đó ta có thể dự đoán, ước đoán về các tính chất của dãy số (tính đơn điệu, bị chặn...), dự đoán công thức số hạng tổng quát của dãy số, tính hội tụ, giới hạn của dãy...từ đó giúp cho việc phát hiện, tìm kiếm cách giải bài toán một cách sáng tạo. Việc biết cách lập ra quy trình để tính các số hạng của dãy số còn hình thành cho học sinh những kỹ năng, tư duy thuật toán rất gần với lập trình trong tin học.
Sau đây là một số quy trình tính số hạng của một số dạng dãy số thường gặp trong chương trình, trong ngoại khoá và thi giải Toán bằng MTBT:
I/ Lập quy trình tính số hạng của dãy số:
1) Dãy số cho bởi công thức số hạng tổng quát:
trong đó f(n) là biểu thức của
n cho trước.
Cách lập quy trình:
- Ghi giá trị n = 1 vào ô nhớ : 1
- Lập công thức tính f(A) và gán giá trị ô nhớ 1
- Lặp dấu bằng: ... ...
Giải thích:
1 : ghi giá trị n = 1 vào ô nhớ
1 : tính un = f(n) tại giá trị (khi bấm dấu bằng thứ lần nhất) và thực hiện gán giá trị ô nhớ thêm 1 đơn vị: 1 (khi bấm dấu bằng lần thứ hai).
* Công thức được lặp lại mỗi khi ấn dấu
Ví dụ 1: Tính 10 số hạng đầu của dãy số (un) cho bởi:
Giải:
- Ta lập quy trình tính un như sau:
1
1 5 1 5 2 1 5 2 1
- Lặp lại phím: ... ...
Ta được kết quả: u1 = 1, u2 = 1, u3 = 2, u4 = 3, u5 = 5, u6 = 8, u7 = 13, u8 = 21,
u9 = 34, u10 = 55.
2) Dãy số cho bởi hệ thức truy hồi dạng:
trong đó f(un) là biểu thức của
un cho trước.
Cách lập quy trình:
- Nhập giá trị của số hạng u1: a
- Nhập biểu thức của un+1 = f(un) : ( trong biểu thức của un+1 chỗ nào có un ta nhập bằng )
- Lặp dấu bằng:
Giải thích:
- Khi bấm: a màn hình hiện u1 = a và lưu kết quả này
- Khi nhập biểu thức f(un) bởi phím , bấm dấu lần thứ nhất máy sẽ thực hiện tính u2 = f(u1) và lại lưu kết quả này.
- Tiếp tục bấm dấu ta lần lượt được các số hạng của dãy số u3, u4...
Ví dụ 1: Tìm 20 số hạng đầu của dãy số (un) cho bởi:
Giải:
- Lập quy trình bấm phím tính các số hạng của dãy số như sau:
1 (u1)
2 1 (u2)
...
- Ta được các giá trị gần đúng với 9 chữ số thập phân sau dấu phảy:
u1 = 1 u8 = 1,414215686
u2 = 1,5 u9 = 1,414213198
u3 = 1,4 u10 = 1,414213625
u4 = 1,416666667 u11 = 1,414213552
u5 = 1,413793103 u12 = 1,414213564
u6 = 1,414285714 u13 = 1,414213562
u7 = 1,414201183 u14 =...= u20 = 1,414213562
Ví dụ 2: Cho dãy số được xác định bởi:
Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để un là số nguyên.
Giải:
- Lập quy trình bấm phím tính các số hạng của dãy số như sau:
3 (u1)
3 (u2)
(u4 = 3)
Vậy n = 4 là số tự nhiên nhỏ nhất để u4 = 3 là số nguyên.
3) Dãy số cho bởi hệ thức truy hồi dạng:
Cách lập quy trình:
* Cách 1:
Bấm phím: b A B a C
Và lặp lại dãy phím:
A B C
A B C
Giải thích: Sau khi thực hiện
b A B a C
trong ô nhớ là u2 = b, máy tính tổng u3 := Ab + Ba + C = Au2 + Bu1 + C và đẩy vào trong ô nhớ , trên màn hình là: u3 : = Au2 + Bu1 + C
Sau khi thực hiện: A B C máy tính tổng u4 := Au3 + Bu2 + C và đưa vào ô nhớ . Như vậy khi đó ta có u4 trên màn hình và trong ô nhớ (trong ô nhớ vẫn là u3).
Sau khi thực hiện: A B C máy tính tổng u5 := Au4 + Bu3 + C và đưa vào ô nhớ . Như vậy khi đó ta có u5 trên màn hình và trong ô nhớ (trong ô nhớ vẫn là u4).
Tiếp tục vòng lặp ta được dãy số un+2 = Aun+1¬ + Bun + C
*Nhận xét: Trong cách lập quy trình trên, ta có thể sử dụng chức năng để lập lại dãy lặp bởi quy trình sau (giảm được 10 lần bấm phím mỗi khi tìm một số hạng của dãy số), thực hiện quy trình sau:
Bấm phím: b A B a C
A B C
A B C
Lặp dấu bằng: ... ...
* Cách 2: Sử dụng cách lập công thức
Bấm phím: a
b
A B C
Lặp dấu bằng: ... ...
Ví dụ : Cho dãy số được xác định bởi:
Hãy lập quy trình tính un.
Giải:
- Thực hiện quy trình:
2 3 4 1 5
3 4 5
3 4 5
... ...
ta được dãy: 15, 58, 239, 954, 3823, 15290, 61167, 244666, 978671...
Hoặc có thể thực hiện quy trình:
1 2
3 4 5
... ...
ta cũng được kết quả như trên.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn