Tìm các số nguyên tố p sao cho p - 1 và p + 1 cùng có 6 ước số tự nhiên.
Dễ thấy với p = 2 hay p = 3 thì không thỏa mãn. Xét p > 3 thì p không chia hết cho 2 hoặc 3.
Vì trong 3 số p - 1,p,p+1 chỉ có 1 số chia hết cho 3, mà p không chia hết cho 3 nên p - 1 hoặc p + 1 chia hết cho 3.
Giả sử trong dạng phân tích thành thừa số nguyên tố của p - 1 và p + 1 có hơn 2 thừa số nguyên tố. Khi đó số ước sẽ không nhỏ hơn (1+1)(1+1)(1+1) = 8 (ước)(vô lý). Vậy 2 số trên chỉ có 2 thừa số nguyên tố là 2 và 3.
TH1: p - 1 chia hết cho 3.
Đặt [tex]p-1=2^a.3^b[/tex] thì (a+1)(b+1) = 6
[tex]\Rightarrow a=1,b=2 hoặc a=2,b=1[/tex]
+ a=1,b=2 => p-1=18 => p=19 => p+1=20(t/m)
+ a=2,b=1 => p-1=12 => p+1=14(loại)
TH2: p + 1 chia hết cho 3.
Đặt [tex]p+1=2^a.3^b[/tex] thì (a+1)(b+1) = 6
[tex]\Rightarrow a=1,b=2 hoặc a=2,b=1[/tex]
Xét tương tự, trường hợp này không có p thỏa mãn.
Vậy chỉ có p = 19 là thỏa mãn.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
