ứng dụng tính đơn điệu của hàm số giải bài toán sau

[adamthanh68]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

CMR: 2Sinx + tanx > 3x với mọi x thuộc ([TEX]\0,\pi/2[/TEX])
............................................................................................

 

[thophi128]

CMR: 2Sinx + tanx > 3x với mọi x thuộc ([TEX]\0,\pi/2[/TEX])
............................................................................................

BĐT tương đương
[TEX]2\sin x + \tan x -3x > 0 \forall x \in (0;\frac{\pi}{2})[/TEX]
Đặt [TEX]y = 2\sin x+\tan x - 3x[/TEX]

[TEX]y' =2\cos x+tan^2 x-2[/TEX]

[TEX]y'' = -2\sin x +2\tan x (1+\tan^2x)=2\sin x(\frac{1+\tan^2x-\cos x}{\cos x})[/TEX]

Do [TEX]x \in (0; \frac{\pi}{2})[/TEX] nên

[TEX]\sin x > 0; \cos x > 0; tan^2 x > 0; 1-\cos x > 0[/TEX]

Vậy [TEX]y'' > 0\forall x \in (0; \frac{\pi}{2})[/TEX]

=> y' là hàm đồng biến trên [TEX](0; \frac{\pi}{2})[/TEX]

mà [TEX]x> 0[/TEX] nên [TEX]y'(x) > y'(0) = 0[/TEX]
=> [TEX]y' > 0 \forall x \in (0; \frac{\pi}{2})[/TEX]

=> y đồng biến trên [TEX](0; \frac{\pi}{2})[/TEX]

mà [TEX]x> 0[/TEX] nên [TEX]y(x) > y(0) =0[/TEX]

=> dpcm