- 24 Tháng mười 2018
- 1,616
- 1,346
- 216
- 24
- TP Hồ Chí Minh
- Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP Hồ Chí Minh
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
1. tính chất hàm đơn điệu
- nếu [tex]f(x)[/tex] đơn điệu ([tex]f'(x)[/tex] không đổi dấu) thì [tex]f(x)=0<=>x=x_0[/tex]
- nếu [tex]f(x)[/tex] đồng biến trên miền điều kiện thì [tex]f(x)\geq0<=>x\geq x_0[/tex]
- nếu [tex]f(x)[/tex] nghịch biến trên miền điều kiện thì [tex]f(x)\geq0<=>x\leq x_0[/tex]
- để giải phương trình theo phương pháp này, cần phải đưa phương trình về dạng: [tex]f(u(x))=f(v(x))[/tex]
+ nếu [tex]f(x)[/tex] đơn điệu ([tex]f'(x)[/tex] không đổi dấu) thì [tex]f(u(x))=f(v(x))<=>u(x)=v(x)[/tex]
+ nếu [tex]f(x)[/tex] đồng biến trên khoảng điều kiện thì [tex]f(u(x))\geq f(v(x))<=>u(x)\geq v(x)[/tex]
+ nếu [tex]f(x)[/tex] nghịch biến trên khoảng điều kiện thì [tex]f(u(x))\geq f(v(x))<=>u(x)\leq v(x)[/tex]
2. phương pháp
- để giải phương trình, ta đưa phương trình đã cho về dạng [tex]f(u(x))=f(v(x))[/tex].
+ xét hàm số [tex]y=f(t)[/tex], chứng minh hàm f(t) đơn điệu trên khoảng điều kiện của u(x) và v(x).
+ khi đã chứng minh f(t) đơn điệu, theo tính chất của hàm đơn điệu thì ta có: [tex]f(u(x))=f(v(x))<=>u(x)=v(x)[/tex]
- chú ý:
+ cần chú ý đến miền xác đinh của biến đang xét. khoảng điều kiện phải là hợp của u(x) và v(x).
ví dụ: u(x) có giá trị trên khoảng (1;3), v(x) có giá trị trên khoảng (2;5) thì khoảng điều kiện của biến t là (1;5)
+ hàm f(t) phải liên tục trên khoảng đang xét.
+ hàm f(t) có đạo hàm không đổi dấu trên khoảng đang xét.
3. ví dụ:
ví dụ 1: giải phương trình sau:
[tex](2x+3)\sqrt{4x^2+12x+11}+3x\sqrt{9x^2+2}=-5x-3[/tex]
giải:
ta để ý phương trình có 2 căn thức có thể phân tích: [tex]\left\{\begin{matrix} \sqrt{4x^2+12x+11}=\sqrt{(2x+3)^2+2}\\ \sqrt{9x^2+2}=\sqrt{(3x)^2+2} \end{matrix}\right.[/tex] có dạng giống nhau, ta nghĩ đến việc đưa về biểu thức với [tex]2x+3[/tex] và [tex]3x[/tex]
ta biến đổi:
[tex](2x+3)\sqrt{4x^2+12x+11}+3x\sqrt{9x^2+2}=-5x-3<=>(2x+3)\sqrt{(2x+3)^2+2}-(-3x)\sqrt{(-3x)^2+2}=-(2x+3)+(-3x)<=>(2x+3)\sqrt{(2x+3)^2+2}+(2x+3)=(-3x)\sqrt{(-3x)^2+2}+(-3x)[/tex]
ta đã đưa được về dạng [tex]f(u)=f(v)[/tex], ta xét [tex]f(t)=t\sqrt{t^2+2}+t[/tex], [tex]t\in \mathbb{R}[/tex]
ta có:
[tex]f'(t)=\sqrt{t^2+2}+\frac{t^2}{\sqrt{t^2+2}}+1> 0,\forall t\in \mathbb{R}[/tex]
do đó f(t) luôn đồng biến, suy ra: [tex]f(2x+3)=f(-3x)<=>2x+3=-3x<=>x=-\frac{3}{5}[/tex]
vậy, phương trình có nghiệm duy nhất là [tex]x=-\frac{3}{5}[/tex]
ví dụ 2: giải phương trình sau:
[tex]log_3\left ( \frac{x^2+x+3}{2x^2+4x+5} \right )=x^3+3x+2[/tex]
giải:
nhận thấy 2 biểu thức bậc 2 bên trong logarit đều không âm, đầu tiên ta xử lý biểu thức logarit, ta có:
[tex]log_3(x^2+x+3)-log_3(2x^2+4x+5)=x^2+3x+2[/tex]
nhận thấy vế phải có thể phân tích theo 2 biểu thức bên trong logarit: [tex]x^2+3x+2=(2x^2+4x+5)-(x^2+x+3)[/tex].
ta được phương trình: [tex]log_3(x^2+x+3)+x^2+x+3=log_3(2x^2+4x+5)+2x^2+4x+5[/tex]
phương trình có dạng [tex]f(u)=f(v)[/tex]
xét [tex]f(t)=log_3t+t[/tex]
[tex]f'(t)=\frac{1}{t.ln3}+1> 0,\forall t> 0[/tex]
do đó hàm số luôn đồng biến, suy ra:
[tex]f(x^2+x+3)=f(2x^2+4x+5)<=>x^2+x+3=2x^2+4x+5<=>x^2+3x+2=0<=>x=-1,x=-2[/tex]
vậy nghiệm của phương trình là x=-1,x=-2
- nếu [tex]f(x)[/tex] đơn điệu ([tex]f'(x)[/tex] không đổi dấu) thì [tex]f(x)=0<=>x=x_0[/tex]
- nếu [tex]f(x)[/tex] đồng biến trên miền điều kiện thì [tex]f(x)\geq0<=>x\geq x_0[/tex]
- nếu [tex]f(x)[/tex] nghịch biến trên miền điều kiện thì [tex]f(x)\geq0<=>x\leq x_0[/tex]
- để giải phương trình theo phương pháp này, cần phải đưa phương trình về dạng: [tex]f(u(x))=f(v(x))[/tex]
+ nếu [tex]f(x)[/tex] đơn điệu ([tex]f'(x)[/tex] không đổi dấu) thì [tex]f(u(x))=f(v(x))<=>u(x)=v(x)[/tex]
+ nếu [tex]f(x)[/tex] đồng biến trên khoảng điều kiện thì [tex]f(u(x))\geq f(v(x))<=>u(x)\geq v(x)[/tex]
+ nếu [tex]f(x)[/tex] nghịch biến trên khoảng điều kiện thì [tex]f(u(x))\geq f(v(x))<=>u(x)\leq v(x)[/tex]
2. phương pháp
- để giải phương trình, ta đưa phương trình đã cho về dạng [tex]f(u(x))=f(v(x))[/tex].
+ xét hàm số [tex]y=f(t)[/tex], chứng minh hàm f(t) đơn điệu trên khoảng điều kiện của u(x) và v(x).
+ khi đã chứng minh f(t) đơn điệu, theo tính chất của hàm đơn điệu thì ta có: [tex]f(u(x))=f(v(x))<=>u(x)=v(x)[/tex]
- chú ý:
+ cần chú ý đến miền xác đinh của biến đang xét. khoảng điều kiện phải là hợp của u(x) và v(x).
ví dụ: u(x) có giá trị trên khoảng (1;3), v(x) có giá trị trên khoảng (2;5) thì khoảng điều kiện của biến t là (1;5)
+ hàm f(t) phải liên tục trên khoảng đang xét.
+ hàm f(t) có đạo hàm không đổi dấu trên khoảng đang xét.
3. ví dụ:
ví dụ 1: giải phương trình sau:
[tex](2x+3)\sqrt{4x^2+12x+11}+3x\sqrt{9x^2+2}=-5x-3[/tex]
giải:
ta để ý phương trình có 2 căn thức có thể phân tích: [tex]\left\{\begin{matrix} \sqrt{4x^2+12x+11}=\sqrt{(2x+3)^2+2}\\ \sqrt{9x^2+2}=\sqrt{(3x)^2+2} \end{matrix}\right.[/tex] có dạng giống nhau, ta nghĩ đến việc đưa về biểu thức với [tex]2x+3[/tex] và [tex]3x[/tex]
ta biến đổi:
[tex](2x+3)\sqrt{4x^2+12x+11}+3x\sqrt{9x^2+2}=-5x-3<=>(2x+3)\sqrt{(2x+3)^2+2}-(-3x)\sqrt{(-3x)^2+2}=-(2x+3)+(-3x)<=>(2x+3)\sqrt{(2x+3)^2+2}+(2x+3)=(-3x)\sqrt{(-3x)^2+2}+(-3x)[/tex]
ta đã đưa được về dạng [tex]f(u)=f(v)[/tex], ta xét [tex]f(t)=t\sqrt{t^2+2}+t[/tex], [tex]t\in \mathbb{R}[/tex]
ta có:
[tex]f'(t)=\sqrt{t^2+2}+\frac{t^2}{\sqrt{t^2+2}}+1> 0,\forall t\in \mathbb{R}[/tex]
do đó f(t) luôn đồng biến, suy ra: [tex]f(2x+3)=f(-3x)<=>2x+3=-3x<=>x=-\frac{3}{5}[/tex]
vậy, phương trình có nghiệm duy nhất là [tex]x=-\frac{3}{5}[/tex]
ví dụ 2: giải phương trình sau:
[tex]log_3\left ( \frac{x^2+x+3}{2x^2+4x+5} \right )=x^3+3x+2[/tex]
giải:
nhận thấy 2 biểu thức bậc 2 bên trong logarit đều không âm, đầu tiên ta xử lý biểu thức logarit, ta có:
[tex]log_3(x^2+x+3)-log_3(2x^2+4x+5)=x^2+3x+2[/tex]
nhận thấy vế phải có thể phân tích theo 2 biểu thức bên trong logarit: [tex]x^2+3x+2=(2x^2+4x+5)-(x^2+x+3)[/tex].
ta được phương trình: [tex]log_3(x^2+x+3)+x^2+x+3=log_3(2x^2+4x+5)+2x^2+4x+5[/tex]
phương trình có dạng [tex]f(u)=f(v)[/tex]
xét [tex]f(t)=log_3t+t[/tex]
[tex]f'(t)=\frac{1}{t.ln3}+1> 0,\forall t> 0[/tex]
do đó hàm số luôn đồng biến, suy ra:
[tex]f(x^2+x+3)=f(2x^2+4x+5)<=>x^2+x+3=2x^2+4x+5<=>x^2+3x+2=0<=>x=-1,x=-2[/tex]
vậy nghiệm của phương trình là x=-1,x=-2
