Ứng dụng tích phân

L

lunglinh999

T

tuyn

hệ số góc của tiếp tuyến tại [TEX]A(x_0;y_0)[/TEX] của (P) là [TEX]y'(x_0)=2x_0[/TEX]
do đó đường thẳng (d) có hệ số góc là [TEX]k=-\frac{1}{2x_0}[/TEX] \Rightarrow PT (d):y=kx+m
xét PT hoành độ giao điểm:[TEX]x^2=kx+m[/TEX] PT này có 1 nghiệm [TEX]x_0[/TEX] \Rightarrow [TEX]x_0^2=m-\frac{1}{2}[/TEX] \Rightarrow [TEX]m > \frac{1}{2}[/TEX] và [TEX]x_0=\sqrt{m-\frac{1}{2}}=t_0,x_0=-\sqrt{m-\frac{1}{2}}=t_1[/TEX]
[TEX]S=\int_{t1}^{t_0}(\frac{-x}{2x_0}+x_0^2+\frac{1}{2}-x^2)dx[/TEX]
 
Y

ybfx

[TEX] (P) : y=x^2 [/TEX] . (d) là đường thẳng vuông góc với tiếp tuyến của (P) tại A (A thuộc (P) và không trùng với gốc tọa độ ) . tìm A sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi (d) và (P) là nhỏ nhất


Gọi [TEX]A(a,a^2) \in (P); a>0[/TEX]. (Vì (P) nhận Oy làm trục đối xứng nên ta chỉ cần xét a > 0)

[TEX]\Rightarrow d:y=-\frac{1}{2a}(x-a)+a^2[/TEX]

Ptr hđgđ của d và (P):[TEX] \frac{1}{2a}(a-x)+a^2-x^2=0[/TEX]

[TEX] \Leftrightarrow \left \[x = a \\ x = - a - \frac{1}{{2a}} = b \right[/TEX]

[TEX]\Rightarrow S=\int_{b}^{a}(\frac{1}{2a}(a-x)+a^2-x^2)dx[/TEX]

[TEX]=\int_{b}^{a}(a-x)(x+a+\frac{1}{2a})dx[/TEX]

[TEX]=\int_{a}^{b}(x-a)(x-b)dx[/TEX]

[TEX]=\int_{a}^{b}(x^2-(a+b)x+ab)dx[/TEX]

[TEX]=\int_{a}^{b}[(x- \frac{a+b}{2})^2-(\frac{a-b}{2})^2]dx[/TEX]

[tex]=\left. {\left[ {\frac{{{{\left( {x - \frac{{a + b}}{2}} \right)}^3}}}{3} - x{{\left( {\frac{{a - b}}{2}} \right)}^2}} \right]} \right|_a^b = \frac{1}{6}{\left( {a - b} \right)^3}=\frac{1}{6}(a+a+\frac{1}{2a})^3 \geq \frac{4}{3}[/tex]

[TEX]S=\frac{4}{3} \Leftrightarrow a=\frac{1}{2}; (vi\ a>0)[/TEX]

Vậy suy ra có 2 điểm trên (P) thỏa yêu cầu đề bài là: [TEX]A_{1,2}(\pm \frac{1}{2}; \frac{1}{4})[/TEX]
 
Top Bottom