[TEX] (P) : y=x^2 [/TEX] . (d) là đường thẳng vuông góc với tiếp tuyến của (P) tại A (A thuộc (P) và không trùng với gốc tọa độ ) . tìm A sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi (d) và (P) là nhỏ nhất
Gọi [TEX]A(a,a^2) \in (P); a>0[/TEX]. (Vì (P) nhận Oy làm trục đối xứng nên ta chỉ cần xét a > 0)
[TEX]\Rightarrow d:y=-\frac{1}{2a}(x-a)+a^2[/TEX]
Ptr hđgđ của d và (P):[TEX] \frac{1}{2a}(a-x)+a^2-x^2=0[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow \left \[x = a \\ x = - a - \frac{1}{{2a}} = b \right[/TEX]
[TEX]\Rightarrow S=\int_{b}^{a}(\frac{1}{2a}(a-x)+a^2-x^2)dx[/TEX]
[TEX]=\int_{b}^{a}(a-x)(x+a+\frac{1}{2a})dx[/TEX]
[TEX]=\int_{a}^{b}(x-a)(x-b)dx[/TEX]
[TEX]=\int_{a}^{b}(x^2-(a+b)x+ab)dx[/TEX]
[TEX]=\int_{a}^{b}[(x- \frac{a+b}{2})^2-(\frac{a-b}{2})^2]dx[/TEX]
[tex]=\left. {\left[ {\frac{{{{\left( {x - \frac{{a + b}}{2}} \right)}^3}}}{3} - x{{\left( {\frac{{a - b}}{2}} \right)}^2}} \right]} \right|_a^b = \frac{1}{6}{\left( {a - b} \right)^3}=\frac{1}{6}(a+a+\frac{1}{2a})^3 \geq \frac{4}{3}[/tex]
[TEX]S=\frac{4}{3} \Leftrightarrow a=\frac{1}{2}; (vi\ a>0)[/TEX]
Vậy suy ra có 2 điểm trên (P) thỏa yêu cầu đề bài là: [TEX]A_{1,2}(\pm \frac{1}{2}; \frac{1}{4})[/TEX]