- 27 Tháng mười 2018
- 3,742
- 3,706
- 561
- Hà Nội
- Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Ứng dụng tích phân tính thể tích khối tròn xoay, về mặt tư duy cũng khá giống với phần ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng mà mình đã trình bày.
Cho 2 đường đồ thị (C1): f(x) và (C2) : g(x) . Gọi S là phần diện tích giới hạn bởi 2 đồ thị này trên đoạn từ [a;b].
Thể tích sinh bởi diện tích S khi xoay quanh Ox được tính bằng:
[tex]\pi \int_{a}^{b}(f^2(x)-g^2(x))dx[/tex]
Với hiệu [TEX]f^2(x)-g^2(x)[/TEX] luôn đảm bảo phải dương. Trong trường hợp không chắc chắn thì ta phải đóng giá trị tuyệt đối.
Công thức dễ nhớ vì có nét tương đồng với công thức diện tích hình tròn : [tex]S=\pi R^2[/tex]
Trường hợp thể tích sinh bởi (C): y=f(x) với Ox thì là trường hợp đặc biệt của công thức trên, khi đó g(x)=0
Ví dụ 1: Cho phần diện tích S giới hạn bởicác đường đồ thị: [tex](P_1): y=x^2;(P_2):y=\frac{x^2}{27};(H):y=\frac{27}{x}[/tex]
Tính thể tích sinh ra khi quay S quanh Ox; khi quay S quanh Oy
Lời giải:
Ta phải tìm hoành độ các giao điểm:
[tex]P_1\bigcap P_2: x^2=\frac{x^2}{27}<=>x=0[/tex]
[tex]P_1\bigcap (H):x^2=\frac{27}{x}<=>x=3[/tex]
[tex]P_2\bigcap H:\frac{x^2}{27}=\frac{27}{x}<=>x=9[/tex]
Đây là đồ thị biểu diễn phần diện tích S ( phần gạch chéo) . Từ đồ thị ta có thể thấy thể tích cần tính bằng thể tích khi quay phần diện tích [TEX]S_1[/TEX] và phần diện tích [TEX]S_2[/TEX] quanh Ox:
[tex]V=V_1+V_2=\pi \int_{0}^{3}(x^4-\frac{x^4}{27^2})dx+\pi \int_{3}^{9}(\frac{27^2}{x^2}-\frac{x^4}{27^2})dx=\pi \frac{583}{3}(dvtt)[/tex]
Với phần thể tích sinh ra khi quay S quanh Oy, thì cách làm vẫn tương tự, nhưng vì lấy tích phân theo trục Oy nên ta cần chuyển từ y=f(x) thành x=f(y). Như vậy :
[tex](P_1):x=\sqrt{y};(P_2):x=\sqrt{27y};(H):x=\frac{27}{y}[/tex]
Như vậy, tìm tung độ giao điểm. Dựa vào đồ thị, ta được phần thể tích cần tính bằng :
Quay phần diện tích đỏ này, giới hạn bởi (P1) và (H) quanh Oy. Cộng với:
Quay phần diện tích đỏ này, quanh Oy. Như vậy thể tích cần tính bằng:
[tex]V=\pi \int_{0}^{3}(27y-y)dy+\pi \int_{3}^{9}(\frac{27}{y}-y)dy=\pi (81+27ln3)(dvtt)[/tex]
Chú ý: Trường hợp có 3 đồ thị như thế này, mà quá khó để vẽ và đề cũng không cho hình, thì các bạn cứ giải nghiệm như bình thường. Ví dụ với phần quay quanh Ox, có 3 nghiệm là 0,3,9 , thì các bạn chia làm 2 khoảng. Khoảng 1: (0;3) , chọn 1 giá trị x bất kì trong khoảng, các bạn bấm máy hoặc nhẩm, hàm nào cho giá trị cao nhất thì loại nó ra khỏi tích phân vì nó sẽ không giới hạn phần diện tích cần tìm, ta lấy tích phân với hiệu 2 hàm còn lại. Tương tự với khoảng (3;9)
Ví dụ 2: Bài toán thực tế.
Với bài toán thực tế, việc quan trọng là gắn được vật thể cần tính diện tích, hay thể tích vào hệ tọa độ. Rồi áp dụng công thức tích phân để làm.
Việt gắn trục cũng khá là dễ, ai thấy khó thì là do mới làm, còn tưởng tượng chưa quen. Làm tầm 100 bài thi sẽ thấy gắn nó dễ thôi
Trở lại với bài, có 2 cách làm: 1 là áp dụng tích phân như sau:
Gắn hệ trục tọa độ Oxy như hình , ta cần tìm được phương trình mô tả hinh tròn nhỏ đó.
Có thể thấy tâm có tọa độ(R;0) , vì vậy phương trình đường tròn là :
[tex](x-R)^2+y^2=r^2[/tex]
Và vì phần thể tích sinh ra là quay quanh Oy, nên ta cần tính hàm x=f(y):
[tex]x=R+\sqrt{r^2-y^2};x\geq R[/tex]
và x=[tex]R-\sqrt{r^2-y^2},x\leq R[/tex]
Như vậy thể tích cần tính sẽ bằng:
[tex]V=\pi\int_{-r}^{r}[(R+\sqrt{r^2-y^2})^2-(R-\sqrt{r^2-y^2})^2]dy=\pi \int_{-r}^{r}4R\sqrt{r^2-y^2}dy[/tex]
Ở đây là tích phân dạng đổi biến lượng giác, thưc hiện đặt [tex]y=rsint[/tex], và đổi cận, sẽ thu được kết quả V=[tex]2\pi^2r^2R[/tex](dvtt)
Trên đây là cách tính thể tích bằng áp dụng tích phân. Đương nhiên nó sẽ nhanh với dạng bài cho số và bấm máy luôn được. Còn bài này có thể dùng cách 2 như sau:
Tưởng tượng ta cắt 1 nhát vào cái phao và uốn thẳng nó ra, như vậy ta sẽ được 1 khối trụ có mặt đáy là mặt cắt, còn chiều cao chính bằng chu vi của đường tròn bán kính R . Vây thể tích là:
[tex]S_d.h=\pi r^2.(2\pi R)=2\pi ^2r^2R[/tex]
Cho 2 đường đồ thị (C1): f(x) và (C2) : g(x) . Gọi S là phần diện tích giới hạn bởi 2 đồ thị này trên đoạn từ [a;b].
Thể tích sinh bởi diện tích S khi xoay quanh Ox được tính bằng:
[tex]\pi \int_{a}^{b}(f^2(x)-g^2(x))dx[/tex]
Với hiệu [TEX]f^2(x)-g^2(x)[/TEX] luôn đảm bảo phải dương. Trong trường hợp không chắc chắn thì ta phải đóng giá trị tuyệt đối.
Công thức dễ nhớ vì có nét tương đồng với công thức diện tích hình tròn : [tex]S=\pi R^2[/tex]
Trường hợp thể tích sinh bởi (C): y=f(x) với Ox thì là trường hợp đặc biệt của công thức trên, khi đó g(x)=0
Ví dụ 1: Cho phần diện tích S giới hạn bởicác đường đồ thị: [tex](P_1): y=x^2;(P_2):y=\frac{x^2}{27};(H):y=\frac{27}{x}[/tex]
Tính thể tích sinh ra khi quay S quanh Ox; khi quay S quanh Oy
Lời giải:
Ta phải tìm hoành độ các giao điểm:
[tex]P_1\bigcap P_2: x^2=\frac{x^2}{27}<=>x=0[/tex]
[tex]P_1\bigcap (H):x^2=\frac{27}{x}<=>x=3[/tex]
[tex]P_2\bigcap H:\frac{x^2}{27}=\frac{27}{x}<=>x=9[/tex]
Đây là đồ thị biểu diễn phần diện tích S ( phần gạch chéo) . Từ đồ thị ta có thể thấy thể tích cần tính bằng thể tích khi quay phần diện tích [TEX]S_1[/TEX] và phần diện tích [TEX]S_2[/TEX] quanh Ox:
[tex]V=V_1+V_2=\pi \int_{0}^{3}(x^4-\frac{x^4}{27^2})dx+\pi \int_{3}^{9}(\frac{27^2}{x^2}-\frac{x^4}{27^2})dx=\pi \frac{583}{3}(dvtt)[/tex]
Với phần thể tích sinh ra khi quay S quanh Oy, thì cách làm vẫn tương tự, nhưng vì lấy tích phân theo trục Oy nên ta cần chuyển từ y=f(x) thành x=f(y). Như vậy :
[tex](P_1):x=\sqrt{y};(P_2):x=\sqrt{27y};(H):x=\frac{27}{y}[/tex]
Như vậy, tìm tung độ giao điểm. Dựa vào đồ thị, ta được phần thể tích cần tính bằng :
Quay phần diện tích đỏ này, giới hạn bởi (P1) và (H) quanh Oy. Cộng với:
Quay phần diện tích đỏ này, quanh Oy. Như vậy thể tích cần tính bằng:
[tex]V=\pi \int_{0}^{3}(27y-y)dy+\pi \int_{3}^{9}(\frac{27}{y}-y)dy=\pi (81+27ln3)(dvtt)[/tex]
Chú ý: Trường hợp có 3 đồ thị như thế này, mà quá khó để vẽ và đề cũng không cho hình, thì các bạn cứ giải nghiệm như bình thường. Ví dụ với phần quay quanh Ox, có 3 nghiệm là 0,3,9 , thì các bạn chia làm 2 khoảng. Khoảng 1: (0;3) , chọn 1 giá trị x bất kì trong khoảng, các bạn bấm máy hoặc nhẩm, hàm nào cho giá trị cao nhất thì loại nó ra khỏi tích phân vì nó sẽ không giới hạn phần diện tích cần tìm, ta lấy tích phân với hiệu 2 hàm còn lại. Tương tự với khoảng (3;9)
Ví dụ 2: Bài toán thực tế.
Với bài toán thực tế, việc quan trọng là gắn được vật thể cần tính diện tích, hay thể tích vào hệ tọa độ. Rồi áp dụng công thức tích phân để làm.
Việt gắn trục cũng khá là dễ, ai thấy khó thì là do mới làm, còn tưởng tượng chưa quen. Làm tầm 100 bài thi sẽ thấy gắn nó dễ thôi
Trở lại với bài, có 2 cách làm: 1 là áp dụng tích phân như sau:
Gắn hệ trục tọa độ Oxy như hình , ta cần tìm được phương trình mô tả hinh tròn nhỏ đó.
Có thể thấy tâm có tọa độ(R;0) , vì vậy phương trình đường tròn là :
[tex](x-R)^2+y^2=r^2[/tex]
Và vì phần thể tích sinh ra là quay quanh Oy, nên ta cần tính hàm x=f(y):
[tex]x=R+\sqrt{r^2-y^2};x\geq R[/tex]
và x=[tex]R-\sqrt{r^2-y^2},x\leq R[/tex]
Như vậy thể tích cần tính sẽ bằng:
[tex]V=\pi\int_{-r}^{r}[(R+\sqrt{r^2-y^2})^2-(R-\sqrt{r^2-y^2})^2]dy=\pi \int_{-r}^{r}4R\sqrt{r^2-y^2}dy[/tex]
Ở đây là tích phân dạng đổi biến lượng giác, thưc hiện đặt [tex]y=rsint[/tex], và đổi cận, sẽ thu được kết quả V=[tex]2\pi^2r^2R[/tex](dvtt)
Trên đây là cách tính thể tích bằng áp dụng tích phân. Đương nhiên nó sẽ nhanh với dạng bài cho số và bấm máy luôn được. Còn bài này có thể dùng cách 2 như sau:
Tưởng tượng ta cắt 1 nhát vào cái phao và uốn thẳng nó ra, như vậy ta sẽ được 1 khối trụ có mặt đáy là mặt cắt, còn chiều cao chính bằng chu vi của đường tròn bán kính R . Vây thể tích là:
[tex]S_d.h=\pi r^2.(2\pi R)=2\pi ^2r^2R[/tex]
