- 27 Tháng mười 2018
- 3,742
- 3,706
- 561
- Hà Nội
- Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Dưới đây là 1 số ví dụ về các bài toán tính tổng các tổ hợp theo quy luật:
1. Tính tổng [tex]S=1+2C_{10}^1+2^2C_{10}^2+...+2^{10}C_{10}^{10}[/tex]
Đây là dạng thường gặp nhất, ta viết lại S:
[TEX]S=C_{10}^0+2C_{10}^1+2^2C_{10}^2+...+2^{10}C_{10}^{10}[/TEX]
Có thể thấy đây là 1 tổng các tổ hợp chập 10, với k chạy từ 0 đến 10, như vậy nó khá giống với khai triển Newton:
[tex](x+2)^{10}=\sum_{k=0}^{10}C_{10}^kx^{10-k}.2^k=C_{10}^0x^{10}.2^0+C_{10}^1x^{9}.2^1+...+C_{10}^{10}x^{0}.2^{10}[/tex]
Có thể thấy, nếu thay x=1 vào VP thì ta sẽ được S, còn trong khi đó đồng thời thay x=1 vào vế trái, ta được [TEX]3^{10}[/TEX], như vậy: [tex]S=3^{10}[/tex]
Một cách tổng quát, ta thấy:
[TEX]S=C_{n}^0+aC_{n}^1+a^2C_{n}^2+...+a^{n}C_{n}^{n}=(a+1)^n[/TEX]
2. Tính tổng: [tex]S=C_{19}^{1}+C_{19}^3+...+C_{19}^{19}[/tex]
Một cách tổng quát, ta có công thức sau: với n nguyên dương lẻ, ta có:
[tex]S=C_{n}^{1}+C_{n}^3+...+C_{n}^{n}=2^{n-1}[/tex]
Cách chứng minh: [tex]2S=2C_{n}^{1}+2C_{n}^3+...+2C_{n}^{n}[/tex]
Giờ ta áp dụng công thức sau: [tex]C_n^k=C_n^{n-k}[/tex]
Ta được: [tex]2S=C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+C_{n}^2+...+C_{n}^{n}=2^n[/tex] (áp dụng từ bài 1 ta tính được tổng này)
Vậy [tex]S=\frac{2^n}{2}=2^{n-1}[/tex]
Áp dụng vào bài đã cho, ta được [TEX]S=2^{18}[/TEX]
3. Tương tự bài 1 nhưng hệ số khai triển đan dấu "+" , "-" xen kẽ:
Tính tổng: [tex]S=3^8C_8^0-3^7C_8^1+3^6C_8^2-...+3^0C^8_8[/tex]
Lúc này, ta áp dụng khai triển: [tex]S=(3-x)^8=C_8^0.3^8.x^0-C_8^1.3^7.x^1+C_8^2.3^6.x^2-...+C_8^8x^8[/tex] (những số hạng mang dấu "-" là do [TEX](-x)^{8-k}[/TEX] với 8-k lẻ nên khi khai triển ra có dấu "-" )
Thay x=1 ta được [tex]S=2^8[/tex]
Một cách tổng quát, ta có: [tex]S=a^nC_n^0-a^{n-1}C_n^1+...+C^n_n=(a-1)^n[/tex] (với n chẵn)
Với n lẻ thì chỉ khác 1 chút: [tex]S=a^nC_n^0-a^{n-1}C_n^1+...-C^n_n=(a-1)^n[/tex]
4. Tính tổng: [tex]S=\frac{C_{2019}^0}{1}+\frac{C_{2019}^1}{2}+\frac{C_{2019}^2}{3}+....+\frac{C_{2019}^{2019}}{2020}[/tex]
Ta chứng minh: [tex]S=\sum_{k=0}^{n}\frac{C^k_n}{k+1}=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{n+1}C^{k+1}_{n+1}[/tex]
Ta có: [tex]\sum_{k=0}^{n}\frac{C^k_n}{k+1}=\sum_{k=0}^{n}\frac{n!}{(k+1)k!(n-k)!}=\sum_{k=0}^{n}\frac{(n+1)!}{(n+1)(k+1)!(n-k)!}=\sum_{k=0}^{n}\frac{(n+1)!}{(n+1)(k+1)!(n+1-(k+1))!}=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{n+1}C^{k+1}_{n+1}[/tex]
Áp dụng có [tex]S=\frac{1}{2020}\sum_{k=0}^{2019}C^{k+1}_{2020}=\frac{1}{2020}(C^1_{2020}+C^2_{2020}+...+C^{2020}_{2020})=\frac{1}{2020}(2^{2020}-1)[/tex]
1. Tính tổng [tex]S=1+2C_{10}^1+2^2C_{10}^2+...+2^{10}C_{10}^{10}[/tex]
Đây là dạng thường gặp nhất, ta viết lại S:
[TEX]S=C_{10}^0+2C_{10}^1+2^2C_{10}^2+...+2^{10}C_{10}^{10}[/TEX]
Có thể thấy đây là 1 tổng các tổ hợp chập 10, với k chạy từ 0 đến 10, như vậy nó khá giống với khai triển Newton:
[tex](x+2)^{10}=\sum_{k=0}^{10}C_{10}^kx^{10-k}.2^k=C_{10}^0x^{10}.2^0+C_{10}^1x^{9}.2^1+...+C_{10}^{10}x^{0}.2^{10}[/tex]
Có thể thấy, nếu thay x=1 vào VP thì ta sẽ được S, còn trong khi đó đồng thời thay x=1 vào vế trái, ta được [TEX]3^{10}[/TEX], như vậy: [tex]S=3^{10}[/tex]
Một cách tổng quát, ta thấy:
[TEX]S=C_{n}^0+aC_{n}^1+a^2C_{n}^2+...+a^{n}C_{n}^{n}=(a+1)^n[/TEX]
2. Tính tổng: [tex]S=C_{19}^{1}+C_{19}^3+...+C_{19}^{19}[/tex]
Một cách tổng quát, ta có công thức sau: với n nguyên dương lẻ, ta có:
[tex]S=C_{n}^{1}+C_{n}^3+...+C_{n}^{n}=2^{n-1}[/tex]
Cách chứng minh: [tex]2S=2C_{n}^{1}+2C_{n}^3+...+2C_{n}^{n}[/tex]
Giờ ta áp dụng công thức sau: [tex]C_n^k=C_n^{n-k}[/tex]
Ta được: [tex]2S=C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+C_{n}^2+...+C_{n}^{n}=2^n[/tex] (áp dụng từ bài 1 ta tính được tổng này)
Vậy [tex]S=\frac{2^n}{2}=2^{n-1}[/tex]
Áp dụng vào bài đã cho, ta được [TEX]S=2^{18}[/TEX]
3. Tương tự bài 1 nhưng hệ số khai triển đan dấu "+" , "-" xen kẽ:
Tính tổng: [tex]S=3^8C_8^0-3^7C_8^1+3^6C_8^2-...+3^0C^8_8[/tex]
Lúc này, ta áp dụng khai triển: [tex]S=(3-x)^8=C_8^0.3^8.x^0-C_8^1.3^7.x^1+C_8^2.3^6.x^2-...+C_8^8x^8[/tex] (những số hạng mang dấu "-" là do [TEX](-x)^{8-k}[/TEX] với 8-k lẻ nên khi khai triển ra có dấu "-" )
Thay x=1 ta được [tex]S=2^8[/tex]
Một cách tổng quát, ta có: [tex]S=a^nC_n^0-a^{n-1}C_n^1+...+C^n_n=(a-1)^n[/tex] (với n chẵn)
Với n lẻ thì chỉ khác 1 chút: [tex]S=a^nC_n^0-a^{n-1}C_n^1+...-C^n_n=(a-1)^n[/tex]
4. Tính tổng: [tex]S=\frac{C_{2019}^0}{1}+\frac{C_{2019}^1}{2}+\frac{C_{2019}^2}{3}+....+\frac{C_{2019}^{2019}}{2020}[/tex]
Ta chứng minh: [tex]S=\sum_{k=0}^{n}\frac{C^k_n}{k+1}=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{n+1}C^{k+1}_{n+1}[/tex]
Ta có: [tex]\sum_{k=0}^{n}\frac{C^k_n}{k+1}=\sum_{k=0}^{n}\frac{n!}{(k+1)k!(n-k)!}=\sum_{k=0}^{n}\frac{(n+1)!}{(n+1)(k+1)!(n-k)!}=\sum_{k=0}^{n}\frac{(n+1)!}{(n+1)(k+1)!(n+1-(k+1))!}=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{n+1}C^{k+1}_{n+1}[/tex]
Áp dụng có [tex]S=\frac{1}{2020}\sum_{k=0}^{2019}C^{k+1}_{2020}=\frac{1}{2020}(C^1_{2020}+C^2_{2020}+...+C^{2020}_{2020})=\frac{1}{2020}(2^{2020}-1)[/tex]
