Ứng dụng đạo hàm.

2

20071006

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1, Cho hàm số f(x)=$ x^4+px^3+q $ Cmr f(x) >=0 <=> $ 256p>=27q^4 $
2, cho hsố f(x)= $ x^3-2x^2-(m-1)x+ m $. Xác địn m để f(x)>= 1/x với mọi x>=2
3, cmr phương trình sau có nghiệm duy nhất : $ x^5 -5x^4+15x^3 -x^2+3x-7=0 $


Mấy bài này sdụng bbt nhưng khó quá. Ai giúp mình với nào!
 
Last edited by a moderator:
R

rocky1208

1/ có vẻ sai đề + thiếu đề (màu xanh: thiếu, màu đỏ: lộn p với q)

Cho: [TEX]x^4 + px^3 + q[/TEX]. CMR [TEX]f(x) \geq 0; \color{green}{\forall x\in R}[/TEX][TEX] \Leftrightarrow[/TEX][TEX] \color{red}{256q \geq27p^4}[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

[TEX]f'(x) =4x^3+3px^2 =x^2(4x+3p)[/TEX]
[TEX]f'(x) = 0 \Leftrightarrow x=\frac{-3p}{4}[/TEX]

BBT:

Untitled.png


[TEX]f(x) \geq 0 ; \forall x\in R \Leftrightarrow [/TEX] Điểm thấp nhất đồ thị của f(x) phải cao hơn hoặc nằm trên trục hoành. Nói cách khác giá trị nhỏ nhất của f(x) phải lớn hoặc bằng hơn 0. như vậy f(x) mới [TEX]\geq 0 \forall x\in R[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow min_{x\in R} f(x) \geq 0 \Leftrightarrow q-\frac{27p^4}{256} \geq 0 [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \fbox{256q \geq 27p^4}[/TEX]
 
Last edited by a moderator:
R

rocky1208

2/ [TEX]f(x) = x^3-2x^2-(m-1)x+m \geq\frac{1}{x}; \forall x\geq 2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (x^3 -2x^2 +x)-\frac{1}{x}\geq m(x-1); \forall x \geq 2[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow x(x-1)^2 -\frac{1}{x} \geq m(x-1); \forall x\geq2[/TEX]

Do [TEX]x\geq 2[/TEX] nên [TEX]x-1 >0 [/TEX]. Chia cả 2 vế cho [TEX]x-1[/TEX] được:

[TEX]x(x-1)-\frac{1}{x(x-1)} \geq m; \forall x \geq 2[/TEX]

Đặt [TEX]t=x(x-1) = x^2 -x[/TEX];

Khảo sát hàm [TEX]t(x)[/TEX] trên miền [TEX]x\geq 2[/TEX]

Ta có:
[TEX]t'(x) = 2x-1; t'(x)=0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}[/TEX]

BBT 1:
Untitled.png


=> [TEX]x \geq 2 \Leftrightarrow t \geq -\frac{1}{4}[/TEX]

Vậy bài toán trở thành tìm m để [TEX]g(t) = t -\frac{1}{t} \geq m; \forall \geq -\frac{1}{4}[/TEX]

Ta có:
[TEX]g'(t)=1 +\frac{1}{t^2} > 0 \forall t\in R[/TEX]

=> g(t) đồng biến trên R

=> g(t) đồng biến với [TEX]t \geq -\frac{1}{4}[/TEX]

=> với [TEX]t \geq -\frac{1}{4}[/TEX] thì [TEX]g(t) \geq g(-\frac{1}{4}) = \frac{15}{4}[/TEX]

=> [TEX]min_{[-\frac{1}{4}; +\infty)} g(t) = \frac{15}{4} [/TEX]

Do đó [TEX]g(t) \geq m; \forall \geq -\frac{1}{4} \Leftrightarrow min_{[-\frac{1}{4}; +\infty)} g(t) \geq m[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow m \leq \frac{15}{4}[/TEX]
 
Last edited by a moderator:
R

rocky1208

3/
Số nghiệm của PT: f(x) = 0 (*) là số giao điểm của đồ thị của f(x) với trục hoành Ox.

[TEX]f'(x) =5x^4-20x^3 +45x^2 -2x+3[/TEX]

[TEX]= 5(x^4-4x^3+4x) +24x^2 +(x^2-2x+1) + 2[/TEX]

[TEX]=5x^2(x^2-4x+4) +24x^2 +(x^2-2x+1) + 2[/TEX]

[TEX]=5x^2(x-2)^2 +24x^2 +(x-1)^2 + 2 > 0; \forall x \in R[/TEX]

Vậy f(x) đồng biến trên R.

PT f(x) = 0 có VT là 1 hàm đồng biến, VP là 1 hàm hằng (trên R) nên có nhiều nhất 1 nghiệm trên R. (1)
(Vì đồ thị 1 hàm đồng biến và đồ thị 1 hàm hằng ko cắt nhau quá 1 điểm)

Mặt khác:
[TEX]lim_{x\to -\infty} f(x) =-\infty[/TEX]
[TEX]lim_{x\to +\infty} f(x) =+\infty[/TEX]

Nên đồ thị của f(x) luôn cắt Ox tại ít nhất 1 điểm (vì hàm f(x) liên tục trên R)

Tức PT (*) có ít nhất 1 nghiệm trên R. (2)

Từ (1) và (2) => PT (*) có đúng 1 nghiệm trên R.
 
Last edited by a moderator:
You must log in or register to reply here.
Top Bottom