Ứng dụng đạo hàm

[thuthuatna]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

tất cả các bài sau phải giải GPT, HBPT nhờ khảo sát hàm số:

1.[TEX]sqrt{2x}+sqrt{6-x}=6[/TEX]

2.GPT [TEX]sqrt{2x}+2.sqrt{6-x}+sqrt[4]{2x}+2.sqrt[4]{6-x}=6+3.sqrt{2}[/TEX]

3. GPT [TEX]3.sqrt{(x^2-4x+5)^2011}+ 2.sqrt{x-2}=2.sqrt{x-1}+1[/TEX]

4. GHPT [TEX]16.x^3+24.x^2+14.x+3=(2y-3).sqrt{y-2}[/TEX]
[TEX]sqrt{4x+2}+sqrt{2y+4}=6[/TEX]

 

[duynhan1]

1.[TEX]sqrt{2x}+sqrt{6-x}=6[/TEX]

Xét hàm :
[TEX]f(x) = \sqrt{2x}+\sqrt{6-x} \ \ \forall x \in [0;6] [/TEX]
[TEX]f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{2\sqrt{6-x}}[/TEX]
[TEX]f'(x) = 0 \Leftrightarrow 2\sqrt{6-x} = \sqrt{x} \Leftrightarrow 2(6-x) = x \Leftrightarrow x = 4(thoa x \in (0;6))[/TEX]
[TEX]f(0) = \sqrt{6} \\ f(4) = 4\sqrt{2} \\ f(6) = 2\sqrt{3} [/TEX]
Suy ra : [TEX]Max \underset{x \in [0;6]}{ f(x)} = 3\sqrt{2} < 6 [/TEX]
Suy ra phương trình [TEX]f(x) = 6[/TEX] vô nghiệm.


Có thể giải bằng cách khác như sau:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky ta có:
[TEX]\sqrt{2}.\sqrt{x} + 1.\sqrt{6-x} \le \sqrt{3(x+6-x)} = 3 \sqrt{2}<6[/TEX]
Suy ra phương trình đã cho vô nghiệm.

2.GPT [TEX]sqrt{2x}+2.sqrt{6-x}+\sqrt[4]{2x}+2.\sqrt[4]{6-x}=6+3.sqrt{2}[/TEX]

Tương tự như bài trên nhưng ta sẽ xét 2 hàm:
[TEX]\left{ f(x) =\sqrt{2x}+2.\sqrt{6-x} \\ g(x) =\sqrt[4]{2x}+2.\sqrt[4]{6-x} [/TEX]
Từ đó suy ra:
[TEX]\left{ f(x) \le f(2) \le 6 \\ g(x) \le g(2) \le 3\sqrt{2}[/TEX]
Từ đó suy ra: [TEX] VT \le VP[/TEX]
[TEX]"=" \Leftrightarrow x=2[/TEX]

Cách 2:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky ta có:
[TEX]\left{ \sqrt{2} \sqrt{x}+2.sqrt{6-x} \le \sqrt{6.(6-x+x)} = 6 \\ 1.\sqrt[4]{2x}+ \sqrt{2}. (\sqrt{2}\sqrt[4]{6-x}) \le \sqrt{3. (\sqrt{2x}+\sqrt{6-x})} \le \sqrt{3.6} = 3\sqrt{2} [/TEX]
[TEX]"=" \Leftrightarrow x=2[/TEX]

3. GPT [TEX]3.sqrt{(x^2-4x+5)^2011}+ 2.sqrt{x-2}=2.sqrt{x-1}+1[/TEX]

Điều kiện : [TEX]x \ge 2[/TEX]
[TEX](pt) \Leftrightarrow3.sqrt{(x^2-4x+5)^{2011}}= 2.sqrt{x-1}-2.sqrt{x-2}+1 [/TEX]
Dễ dàng nhận thấy [TEX]VT \ge 3[/TEX]
nên nếu như ta đánh giá được [TEX]VP \le 3[/TEX] thì coi như xong.
Xét hàm: [TEX]f(x) = \sqrt{x-1}-\sqrt{x-2}[/TEX]
Suy ra: [TEX]Max \ f(x) = 1[/TEX], chính là điều ta đang cần

Cách 2: Có thể biến đổi như sau:
[TEX](pt) \Leftrightarrow3.sqrt{(x^2-4x+5)^{2011}}= 2.sqrt{x-1}-2.sqrt{x-2}+1 \\ \Leftrightarrow3.sqrt{(x^2-4x+5)^{2011}}= \frac{2}{\sqrt{x-2}+\sqrt{x-1}}+1 [/TEX]
Mà ta lại có: [TEX]\sqrt{x-2}+\sqrt{x-1} \ge 1[/TEX]
Do đó [TEX]VP \le 3[/TEX]

4. GHPT [TEX]16.x^3+24.x^2+14.x+3=(2y-3).sqrt{y-2}[/TEX]
[TEX]sqrt{4x+2}+sqrt{2y+4}=6[/TEX]

Xét phương trình (1), để ý VT có dạng : [TEX]2(\sqrt{y-2})^3 + \sqrt{y-2}[/TEX]
nên ta biến đổi VT thành:
[TEX]2(2x + 1)^2 + 2x + 1 [/TEX]
Xét hàm [TEX]f(t) = 2t^3+t[/TEX], suy ra hàm f(t) đồng biến suy ra phương trình (1) tương đương với :
[TEX]2x+1 = \sqrt{y-2}[/TEX].
Thay vào phương trình (2) là xong.