Toán 12 Ứng dụng đạo hàm giải hệ phương trình

[haathptkdhy@gmail.com]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Mọi người cho mình hỏi câu này với! Câu này khó quá (
Đề bài: Tìm m để hệ sau có nghiệm:
[tex]\left\{\begin{matrix}m.(x^{2}+\sqrt[3]{x^{4}}+\sqrt[3]{x^{2}}+1)=xy & \\ m.(\sqrt[3]{x^{8}}+x^{2}+\sqrt[3]{x^{2}}+1)=(2y+1-m)\sqrt[3]{x^{4}} & \end{matrix}\right.[/tex]

 

[Kaito Kidㅤ]

Với $m=0$ phương trình có nghiệm nên thỏa mãn
Với $m \neq 0$ thì chắc chắn $x,y \neq 0$, ta có:
Đặt [tex]\sqrt[3]{x}=t \neq 0[/tex] ta sẽ có hệ:
[tex]\left\{\begin{matrix} & m.(t^6+t^4+t^2+1)=t^3.y & \\ & m.(t^8+t^6+t^4+t^2+1) =(2y+1)t^4& \end{matrix}\right.\\\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} & 2m.(t^3+t+\frac{1}{t}+\frac{1}{t^3})=2y (1) & \\ & m.(t^4+t^2+1+\frac{1}{t^2}+\frac{1}{t^4}) =(2y+1) (2)& \end{matrix}\right.[/tex]
Lấy $(2)-(1)$ có:
[tex]t^4+\frac{1}{t^4}-2(t^3+\frac{1}{t^3})+t^2+\frac{1}{t^2}-2(t+\frac{1}{t})+1=\frac{1}{m} (3)[/tex]
Hệ có nghiệm khi và chỉ khi phương trình $(3)$ có nghiệm
Đặt [tex]x+\frac{1}{x}=a,|a| \geq 2[/tex]
[tex]pt(3)\Leftrightarrow a^4-2a^3-3a^2+4a+1=\frac{1}{m}[/tex]
Khảo sát hàm $f(a)=a^4-2a^3-3a^2+4a+1$ với $|a| \geq 2$ có:
\begin{array}{c|ccccccc}
a & -\infty & & -2 & & 2 & & +\infty \\
\hline
f'(a) & & - & | & /// & 0 & + \\
\hline
f(a) & +\infty & & & & & & +\infty \\
& & \searrow & & & & \nearrow & \\
& & & 13 & /// & -3 & &
\end{array}
Vậy để $pt(3)$ có nghiệm thì [tex]\frac{1}{m}\geq -3\\\Leftrightarrow m\leq \frac{-1}{3}[/tex]
Vậy $m\leq \frac{-1}{3}, m=0$ thỏa mãn $ycbt$