ứng dụng đạo hàm c/m bất đẳng thức

[sundays]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho tam giác ABC nhọn Cm:
[TEX]3(a+b+c) \leq \pi(\frac{a}{A}+\frac{b}{B}+\frac{c}{C})[/TEX]

2. Cho a, b >0. Cm:
[TEX]\frac{a+b}{2} > \frac{a-b}{lna-lnb}[/TEX]

3. Cho [TEX]0<a<\frac{\pi}{2}[/TEX]. Cm:
[TEX]a) sina>a-\frac{\pi ^3}{6}[/TEX]
[TEX]b) sina>\frac{2a}{\pi}[/TEX]

 

[doigiaythuytinh]

12. Cho a,b >0. Cm:
[TEX]\frac{a+b}{2} > \frac{a-b}{lna-lnb}[/TEX]

Định lí Lagrange:
Hàm sô [TEX]y=f(x) [/TEX] liên tục trên [TEX][a;b][/TEX] và có đạo hàm trên [TEX](a;b) [/TEX] thì \exists [TEX]c \in (a;b) [/TEX] mà: [TEX] f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}[/TEX]

Áp dụng cái đó

Th1: [TEX]a>b>0[/TEX]
Xét hs [TEX]f(x) = lnx[/TEX] khả vi và liên tục trên [TEX][b,a] [/TEX] thuộc khoảng [TEX](0, +\infty)[/TEX]
Theo định lí Largrange, luôn tồn tại [TEX]c \in (b,a)[/TEX] sao cho:
[TEX]f'(c)= \frac{f(a)-f(b)}{a-b} \ \ \Leftrightarrow \frac{1}{c}=\frac{lna-lnb}{a-b}[/TEX]
\Rightarrow [TEX]c= \frac{a-b}{lna-lnb}[/TEX]
Mà: [TEX]b<c<a \ \ \Rightarrow b< \frac{a-b}{lna-lnb}<a<\frac{a+b}{2}[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]\frac{a+b}{2} > \frac{a-b}{lna-lnb}[/TEX]

Th2: [TEX]b>a>0[/TEX] (tương tự)

Còn với [TEX]a=b>0[/TEX]: bđt hiển nhiên đúng ^^