Ứng dụng BĐT lượng giác pro-pro

[latata]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chào mọi người không biết đã có chủ đề nào về BĐT lượng giác chưa vậy. Nếu chưa mình

xin mạo muội tạo ra chủ đề này, mình xin bắt đầu bằng ứng dụng của một BĐT:

BĐT gốc:

Cho tam giác ABC và các số thực x, y, z bất kì. Khi đó ta có

[TEX]x^2 + y^2 + z^2 \ge 2\left( {xy\cos 2C + yz\cos 2A + zx\cos 2B} \right)\[/TEX]


Xin mọi người góp ý cho tui xem về chủ đề này nhé! Thannks verry much!

>->->-

 

[quang1234554321]

Chào mọi người không biết đã có chủ đề nào về BĐT lượng giác chưa vậy. Nếu chưa mình

xin mạo muội tạo ra chủ đề này, mình xin bắt đầu bằng ứng dụng của một BĐT:

BĐT gốc:

Cho tam giác ABC và các số thực x, y, z bất kì. Khi đó ta có

[TEX]x^2 + y^2 + z^2 \ge 2\left ( {xy\cos 2C + yz\cos 2A + zx\cos 2B} \right)\[/TEX]


Xin mọi người góp ý cho tui xem về chủ đề này nhé! Thannks verry much!

>->->-

Bài này từ lâu mà chưa có lời giải . Giải tạm vậy .

Em nghĩ đề bài thế này mới đúng chứ : CM [TEX]x^2 + y^2 + z^2 \ge 2\left ( {xy.cos C + yz.cosA + zx.cosB} \right)\[/TEX]


Ta luôn có BDT : [TEX]x^2+y^2+z^2 \geq xy+yz+zx[/TEX]

Ta sẽ CM [TEX]xy+yz+zx \geq 2(xy.cos C + zx.cosB +yz.cosA )[/TEX]

Không mất tính tổng quát , ta giải sử

[TEX]x \geq y \geq z \Rightarrow xy \geq xz \geq yz [/TEX]

Và giả sử [TEX]cosC \leq cos B \leq cosA [/TEX]

Vậy ta có 2 dãy đơn điệu ngược chiều như trên .

Áp dụng chebyshev với 2 dãy đơn điệu ngược chiều .

[TEX]xy.cos C + zx.cosB +yz.cos A \leq 3 (xy+xz+yz)( cosC+cosB+cosA) [/TEX]

Mặt khác theo Jensen với hàm lồi : [TEX]cosC+cosB+cosA \leq 3 cos{ \frac{A+B+C}{3}} = \frac{3}{2}[/TEX]

Thay vào các BDT ta có đpcm

p/s : Thực sự lời giải ko ổn lắm

 

[study_more_91]

Bài này từ lâu mà chưa có lời giải . Giải tạm vậy .

Em nghĩ đề bài thế này mới đúng chứ : CM [TEX]x^2 + y^2 + z^2 \ge 2\left ( {xy.cos C + yz.cosA + zx.cosB} \right)\[/TEX]


Ta luôn có BDT : [TEX]x^2+y^2+z^2 \geq xy+yz+zx[/TEX]

Ta sẽ CM [TEX]xy+yz+zx \geq 2(xy.cos C + zx.cosB +yz.cosA )[/TEX]

Không mất tính tổng quát , ta giải sử

[TEX]x \geq y \geq z \Rightarrow xy \geq xz \geq yz [/TEX]

Và giả sử [TEX]cosC \leq cos B \leq cosA [/TEX]

Vậy ta có 2 dãy đơn điệu ngược chiều như trên .

Áp dụng chebyshev với 2 dãy đơn điệu ngược chiều .

[TEX]xy.cos C + zx.cosB +yz.cos A \leq 3 (xy+xz+yz)( cosC+cosB+cosA) [/TEX]

Mặt khác theo Jensen với hàm lồi : [TEX]cosC+cosB+cosA \leq 3 cos{ \frac{A+B+C}{3}} = \frac{3}{2}[/TEX]

Thay vào các BDT ta có đpcm

p/s : Thực sự lời giải ko ổn lắm

Tớ chưa kiểm tra nhưng chắc là lời giải của Quang sai rồi
Vì bài toán gốc là
chứng minh Vế trái + Vế phải [TEX]\geq 0[/TEX]
dễ nhận thấy điều đó khi cho [TEX]A=B=C=60^{o},x=y=z=1[/TEX]
Chứng minh thì đơn giản lắm ^^!
Xét 1 tam giác bất kì ABC .Gọi O là tâm ngoại tiếp
dễ nhận thấy góc BOA=2 góc C....
gọi i,j,k là các vecto đơn vị theo các phương OA,OB,OC
[TEX](x. \vec{i}+y .\vec{j}+z. \vec{k})^2 \geq 0[/TEX]
các bạn khai triển cái nì ra sẽ có đpcm

Mọi người thử nghịch một tí với trò bình phương này xem thu được cái gì nhé
theo mình nhớ thì nó ra khá lắm kết quả đẹp đó ^^!

 

[quang1234554321]

Tớ chưa kiểm tra nhưng chắc là lời giải của Quang sai rồi
Vì bài toán gốc là
chứng minh Vế trái + Vế phải [TEX]\geq 0[/TEX]
dễ nhận thấy điều đó khi cho [TEX]A=B=C=60^{o},x=y=z=1[/TEX]
Chứng minh thì đơn giản lắm ^^!
Xét 1 tam giác bất kì ABC .Gọi O là tâm ngoại tiếp
dễ nhận thấy góc BOA=2 góc C....
gọi i,j,k là các vecto đơn vị theo các phương OA,OB,OC
[TEX](x. \vec{i}+y .\vec{j}+z. \vec{k})^2 \geq 0[/TEX]
các bạn khai triển cái nì ra sẽ có đpcm

Mọi người thử nghịch một tí với trò bình phương này xem thu được cái gì nhé
theo mình nhớ thì nó ra khá lắm kết quả đẹp đó ^^!

Ngay từ đầu , tôi đã thấy bài của tôi ko ổn rồi .

Riêng cái chỗ Jensen đã quá lỏng rồi . Thiếu trường hợp và đồng nghĩa với việc CM chưa hoàn thiện .

Hơn nữa , ở đây muốn nói BDT Jensen đúng là ko chặt thật như Phạm Kim Hùng đã nói .

Sử dụng nó đôi khi còn CM ngược lại dấu BDT của bài toán và nhiều vấn đề khác ...

p/s: study nói việc CM BDT trên đơn giản sao lại làm có như vậy . Làm hết đi chứ

 

[study_more_91]

Ngay từ đầu , tôi đã thấy bài của tôi ko ổn rồi .

Riêng cái chỗ Jensen đã quá lỏng rồi . Thiếu trường hợp và đồng nghĩa với việc CM chưa hoàn thiện .

Hơn nữa , ở đây muốn nói BDT Jensen đúng là ko chặt thật như Phạm Kim Hùng đã nói .

Sử dụng nó đôi khi còn CM ngược lại dấu BDT của bài toán và nhiều vấn đề khác ...

p/s: study nói việc CM BDT trên đơn giản sao lại làm có như vậy . Làm hết đi chứ

Đó là do bạn sử dụng chưa đúng chỗ thôi,làm ko ra sao lại trách tội Jensen thế
@Cái biểu thức kia nhân ra là xong mà ,chả nhẽ lớp 12 rồi lại ko biết nhân nữa sao %%-

 

[forever_lucky07]

Ủa không ai vô giải ah, anh sửa lại đề một chút nhé, c/m:

[TEX]x^2 + y^2 + z^2 \ge -2\left( {xy\cos 2C + yz\cos 2A + zx\cos 2B} \right)\[/TEX]

Bạn làm theo bạn study_more_91 là ok rùi đó, hoàn toàn chính

xác, vậy các bạn có ưd nào không hãy cùng post lên nhé.

 

[forever_lucky07]

Hiiiiiiii xin chào. Một số bài áp dụng nè các bạn:

Hệ quả 1. Luôn có BĐT:

[TEX]x^2 + y^2 + z^2 \ge 2\left( {xy\cos C + yz\cos A + zx\cos B} \right)\[/TEX]

Hệ quả 2. Với m, n, p dương ta có BĐT:

[TEX]m\sin \frac{A}{2} + n\sin \frac{B}{2} + p\sin \frac{C}{2} \le \frac{{m^2 + n^2 + p^2 }}{{2mnp}}\[/TEX]

 

[forever_lucky07]

Trên mình đã cho 2 hệ quả rùi, mời các bạn giải các bài này nhé, chỉ là ứng dụng thôi:

Bài 1: CMR với mọi x ta luôn có:

[TEX]1 + \frac{1}{2}x^2 \ge \cos A + x(\cos B + \cos C)\[/TEX]

Bài 2: Cho [TEX]\Delta ABC\[/TEX] không có góc tù. CMR:

[TEX]\cos 2A + 2x(\cos B + \cos C) \le x^2 + 1\[/TEX]

Trong 2 bài trên, tìm đk xảy ra dấu bằng ở các BĐT trên.

 

[pttd]

Trên mình đã cho 2 hệ quả rùi, mời các bạn giải các bài này nhé, chỉ là ứng dụng thôi:

Bài 1: CMR với mọi x ta luôn có:

[TEX]1 + \frac{1}{2}x^2 \ge \cos A + x(\cos B + \cos C)\[/TEX]

Bài 2: Cho [TEX]\Delta ABC\[/TEX] không có góc tù. CMR:

[TEX]\cos 2A + 2x(\cos B + \cos C) \le x^2 + 1\[/TEX]

Trong 2 bài trên, tìm đk xảy ra dấu bằng ở các BĐT trên.

HiHi...em làm bài 1 trước
[TEX]1 + \frac{1}{2}x^2 \ge \cos A + x(\cos B + \cos C)\[/TEX]
ta có :[TEX]2+x^2 [/TEX]
= [TEX]1+1+x^2 [/TEX]
áp dụng hệ quả 1
[TEX]1+1+x^2 \geq 2cosA +2xcosB+2xcosC[/TEX]
=>đpcm
còn điều kiện xảy ra dấu = thì chưa làm ra >"<