ĐỀ 1:
Câu 1: Giải phương trình : [TEX]x^3 + 3x^2 - 3\sqrt[3]{3x+5} = 1-3x (1)[/TEX]
Câu 2: Cho a,b,c>0 CM:
[TEX]\frac{2a}{a+b} + \frac{2b}{b+c} + \frac{2c}{c+a} \leq 3 [/TEX]
BÀI GIẢI (gợi ý) :
Câu 1:
[TEX] (1)\Leftrightarrow(x+1)^3=3\sqrt[3]{3x+5} +2[/TEX]
Đặt [TEX]\sqrt[3]{3x+5}=y+1 [/TEX]
Ta có hệ phương trình :
[TEX](x+1)^3=3y+5[/TEX]
[TEX](y+1)^3=3x+5[/TEX]
Đến đây phương trình đã về dạng phương trình đối xứng quen thuộc
Ta dễ dàng tìm được nghệm của phương trình là x=1 và x=-2
Câu 2:
Đặt [TEX]x=\sqrt{\frac{b}{a}}, y=\sqrt{\frac{c}{b}}, z=\sqrt{\frac{a}{c}} [/TEX]BDT trở thành :
[TEX]\sqrt{\frac{2}{1+x^2}} + \sqrt{\frac{2}{1+y^2}} + \sqrt{\frac{2}{1+z^2}} \leq 3[/TEX]
Giả sử [TEX]xy\leq1 \Rightarrow z \geq 1[/TEX]
Dễ dàng chứng minh [TEX]\frac{1}{1+x^2} + \frac{1}{1+y^2} \leq \frac{2}{xy} (1)[/TEX]
Ta có :
Theo BDT Bunhiacopxki :
[TEX]\sqrt{\frac{2}{1+x^2}} + \sqrt{\frac{2}{1+y^2}} \leq \sqrt{2(\frac{2}{1+x^2} + \frac{2}{1+y^2} [/TEX] Từ [TEX](1)\Rightarrow \sqrt{\frac{2}{1+x^2}} + \sqrt{\frac{2}{1+y^2}} \leq \sqrt{\frac{8}{1+xy}} = \sqrt{\frac{8z}{z+1}}[/TEX](do xyz =1)
Mặt khác [TEX]\sqrt{\frac{2}{1+z^2}} = \sqrt{\frac{4}{2(1+z^2)}} \leq \frac{2}{1+z}[/TEX]
SUy ra : [TEX]\sqrt{\frac{2}{1+x^2}} + \sqrt{\frac{2}{1+y^2}} + \sqrt{\frac{2}{1+z^2}} \leq 2\sqrt{\frac{2z}{1+z}} + \frac{2}{1+z}[/TEX]
Do vậy ta sẽ chứng minh : [TEX]2\sqrt{\frac{2z}{1+z}} + \frac{2}{1+z} \leq 3 (2)[/TEX] (chứng minh bằng tương đương ta dễ dàng chứng minh được điều này)
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn