Toán Tuyển tập bài toán khó nhất violympic

[nameless1100]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Đây là các bài toán mình tuyển chọn ra từ sách Tự luyện violympic 9 mà mình chưa giải được. Mong các bạn giải cụ thể và sớm nhất. Mình nhất định sẽ hậu tạ cho những bài giải tốt.
1. Một hình thoi có diện tích bằng một nửa diện tích hình vuông có cạnh bằng cạnh của hình thoi. Tính tỉ số của đường chéo dài và đường chéo ngắn của hình thoi.
2. Một tam giác vuông có chu vi 72 cm, hiệu độ dài giữa đường trung tuyến và đường cao ứng với cạnh huyền bằng 7cm. Tính diện tích tam giác đó.
3. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Tia phân giác của góc HAC cắt HC ở D. Gọi K là hình chiếu của D trên AC. Biết BC=25cm, DK=6cm và AB>2DK. Tính AB.
4. (đề nó không rõ ràng lắm)Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh AB,AC,CA (theo đơn vị cm) la ba số tự nhiên liên tiếp tăng dần, có đường cao AH, đường trung tuyến AM. Tính độ dài HM.
5. Cho tam giác ABC vuông tại A, gọi I là giao điểm của ba đường phân giác. Biết AB=5cm,IC=6cm. Tính BC.
6. Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi I là giao điểm của các đường phân giác, M là trung điểm của BC. Biết AB=6cm,AC=8cm.Tính góc BIM
7. Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB=6cm, AC=8CM. Tam giác BCD vuông tại D, có BD = 24cm. Hai điểm A và D khác phía nhau đối với đường thẳng D, có BD = 24cm. Hai điểm A và D khác phía nhau đối với đường thẳng BC. Khi đó tính BC+CD.
8. Cho tam giác ABC vân tại A, gọi I là giao điểm của các đường phân giác. Biết IA=2[TEX]sqrt{5}[/TEX] , IB=3cm. Tính AB.
9. Cho tam giác ABC vuông tại A, BC=3[TEX]sqrt{5}[/TEX]. Hình vuông ADEF cạnh 2Ccm có D thuộc AB, E thuộc BC, F thuộc AC. Biết rằng AB>AC. Tính AB và AC.
10. Cho tam giác ABC vuông tại A, gọi I là giao điểm các đường phân giác. Biết IB=[TEX]sqrt{5}[/TEX], IC=[TEX]sqrt{10}[/TEX]. Tính AB.
còn nữa

 

[thao_won]

1. Một hình thoi có diện tích bằng một nửa diện tích hình vuông có cạnh bằng cạnh của hình thoi. Tính tỉ số của đường chéo dài và đường chéo ngắn của hình thoi.

Gọi a là độ dài cạnh hình thoi cũng như cạnh hình vuông

Diện tích hình thoi : [TEX]\frac{a^2}{2} [/TEX]

Gọi x và y lần lượt là độ dài nửa đường chéo ngắn và dài .

Diện tích hình thoi là xy
[TEX]\Rightarrow a^2 = 2xy[/TEX]

áp dụng định lý Pitago ,ta có :

[TEX]a^2 = x^2 + y^2[/TEX]

[TEX]\Rightarrow x^2 + y^2 = 2xy[/TEX]

[TEX]\Rightarrow (x -y)^2 = 0[/TEX]

[TEX]\Rightarrow x = y [/TEX]

\Rightarrow x : y = 1

Hôm nay tự dưng chăm quá =))

Mà thế hóa ra hai hình đều là hình vuông à :-?

Nghi ngờ )

 

[nameless1100]

Điều chỉnh một chút [TEX]a^2=4xy[/TEX]
\Rightarrow đpcm
---------------------------------------------------------------

 

[nameless1100]

Bài 4 mình thấy không rõ ràng vì nó chỉ cho số đo 3 cạnh là 3 số tự nhiên liên tiếp, nếu cho nó là tam giác vuông thì mới có thể suy ra số đo 3 cạnh là 3,4,5. Còn nếu chỉ là tam giác thường thôi thì khó mà tính được số đo các cạnh.

 

[thatki3m_kut3]

Bài 2: S=144
Bài 4:
Đặt BC=a thì AB=a-1, AC=a+1. Đặt HM=x
Ta thấy HB=MB-MH(nếu góc B\leq90 độ)
HB=MH-MB(nếu góc B>90 độ)
nên HB^2=(x-a/2)^2
mặt khác ta có :[TEX]AC^2-HC^2=AB^2-HB^2[/TEX] nên
[TEX](a+1)^2-(x+a/2)^2=(a-1)^2-(x-a/2)^2[/TEX]
Giải phương trình trên ta đc x=2
Bài 3: Bạn có thể c/m đc AB=BD chứ
Đặt AB=BD=x
Ta có [TEX]AB^2=BC.CH[/TEX]\Leftrightarrow[TEX]x^2=25(x-6)[/TEX](vì AH=DK)
\Leftrightarrow(x-10)(x-15)=0
\Leftrightarrowx=10(loại) hoặc x=15
Vậy AB=15
Bài 5: BC=9
Bài 6: gBIM=90 độ
Bài 8:AB=2.căn11
Bài 9:AB=6, AC=3
Bài 10: AB=3

 

[thao_won]

2. Một tam giác vuông có chu vi 72 cm, hiệu độ dài giữa đường trung tuyến và đường cao ứng với cạnh huyền bằng 7cm. Tính diện tích tam giác đó

Thấy bài này bà Ngân chưa làm nên làm thử )

[TEX]BC = 2. AM[/TEX]

[TEX] AM - AH = 7[/TEX]

[TEX]\Rightarrow AH = \frac{BC}{2} - 7[/TEX]

[TEX]AB + AC + BC = 72[/TEX]

[TEX]\Rightarrow AB + AC = 72 - BC[/TEX]

[TEX]\Rightarrow AB^2 + AC^2 + 2. AB.AC = 5184 - 144BC + BC^2[/TEX]

Mà [TEX]AB^2 + AC^2 = BC^2[/TEX]

[TEX]\Rightarrow 2. AB .AC = 5184 - 144BC[/TEX]

[TEX]\Rightarrow 2 . BC .AH = 5184 - 144 BC[/TEX]

[TEX]\Rightarrow 2. BC (\frac{BC}{2}-7) = 5184 - 144 BC[/TEX]

[TEX]\Rightarrow BC^2 - 130BC - 5184 = 0[/TEX]

[TEX]\Rightarrow BC = 32[/TEX]

[TEX]\Rightarrow AH = 9[/TEX]

[TEX]\Rightarrow S = 144 [/TEX]

Đáp án đúng oài )

 

[thatki3m_kut3]

làm rồi bà Thảo ơi, S=144 trên tề
...............................................

 

[thao_won]

7. Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB=6cm, AC=8CM. Tam giác BCD vuông tại D, có BD = 24cm. Hai điểm A và D khác phía nhau đối với đường thẳng D, có BD = 24cm. Hai điểm A và D khác phía nhau đối với đường thẳng BC. Khi đó tính BC+CD.

Đề nghị mod del cái bài trên kia ~.~

Áp dụng Pitago \Rightarrow BC =10

Trong tam giác vuông BCD thì BC là cạnh huyền \Rightarrow BC > BD

Nhưng theo đề thì BC < BD

~.~

 

[hocdewenem]

Còn bài này cũng khó này, các bạn thử làm xem nha ( nhớ giải và CM, Biện luận thật tỉ mỉ nha)
**Cho tam giác ABC.Đường tròn (I) nội tiếp tam giác, tiếp xúc với các cạnh BC; CA; AB lần lượt tại D, E, F.Biết [tex]{BAC}{EDF}[/tex].Khi đó [tex]{BAD}=?[/tex]****************************??????????
**Cho đường tròn (O; 4cm) và điểm I sao cho OI=5cm.Qua I kẻ 2 đường thẳng vuông góc với nhau, cắt đường tròn theo 2 dây cung AB và DC. Khi đó [tex]AB^2+CD^2=?[/tex]****************************??
Các bạn thử làm nhé, càng sớm càng tốt, được thì trưa hoặc chiều 8-4 là có nhé!!!!!!!!!
thanks các bạn nhìu nhìu

xin lỗi, cho mình sửa lại đề mình gõ sai nha.ở bài đầu xin sửa ở đoạn:
[...]Biết [tex]{BAC}={EDF}[/tex].Tính[tex]{BAD}=?[/tex]???????????
Thế nha các bạn.nhớ cố gắng giải sớm sớm cho mình nha.tks các bạn!!!!!!!!!!!

 

[nameless1100]

Đề nghị mod del cái bài trên kia ~.~

Áp dụng Pitago \Rightarrow BC =10

Trong tam giác vuông BCD thì BC là cạnh huyền \Rightarrow BC > BD

Nhưng theo đề thì BC < BD

~.~

Xin lỗi bạn nha, nếu bạn muốn ý kiến thì xin liên hệ violympic@moet.edu.vn bảo cái sách của họ tào lao toàn sai thế này. Chứ mình chả có quyền gì đâu.
Nhưng theo mình thì bài này sai là đúng. Nếu sửa đề thành vuông tại B thì bài toán trở nên quá đơn giản.

 

[cobe_lanhlung27]

1) Cho hàm số y = 4x -7 . Giá trị của hàm số tại x = a-1 là ...
2) Nghiệm của phương trình x2 = 1,96 là ...
3) Cho đường tròn (O; 3) và dây AB = 4,8. Đường thẳng qua O và vuông góc với AB cắt tiếp tuyến của (O) tại A ở C . Độ dài của đoạn BC bằng ....
4) Hàm số y = (m2 – 2)x + 3 đồng biến trên R khi và chỉ khi ....
5) Cho các điểm A(3;0), B(4;0), C(0;4), D(0;3), E(0;-3), F(0;- 4). Đường thẳng nào dưới đây là đồ thị của hàm số ?
a). đường thẳng (AC); b). đường thẳng (BD);
c). đường thẳng (AF); d). đường thẳng (BE)
6) Đường chéo của một hình vuông là thì cạnh hình vuông là ...
7) Hàm số y = xác định khi .......
8) Phương trình đường thẳng song song với đồ thị hàm số y = và cắt Ox tại điểm có hoành độ 2 là y = ax+ b với b = ......
9) Điểm A trên đường thẳng y = x và điểm B trên đường thẳng y = 2x cùng có tung độ 6. Diện tích tam giác OAB bằng .......
10) Hàm số y = x2 – 6x đồng biến khi ........
11) Hàm số bậc nhất y = (4 – m2)x + 1 đồng biến khi .......
12) Cho đường thẳng y = (m – 2)x + 2 . Với mọi giá trị của m, đường thẳng này luôn đi qua điểm ....
13) Một điểm trên đường thẳng y = 3x -7 có hoành độ gấp đôi tung độ . Vậy tung độ của nó là ......
14) Biết đường thẳng ax + by + c = 0 là đường phân giác của góc phần tư thứ nhất thì các hệ số của nó là a = ...; b = ...; c = ....

 

[co_mua_thu]

1. Thế x vào y sau đó đơn giản y
2. x= căn 1.96=1.4(nhớ là giá trị dương đừng lấy giá giá trị âm nha..)
3.Kẻ đường thẳng vuông góc từ O xg AB, tam giác OAM( M là trug điểm of AB) là Tg vg có AM=1/2AB, OA=R => OA
đang vội sory nghen

 

[xuanblackberry]

bai 1: thay x=a-1 => tim y vs a la hang so...........

 

[tok111]

:bài 1 nghi ngờ wá hình thoi không thể bằng hình vuông

Đây là các bài toán mình tuyển chọn ra từ sách Tự luyện violympic 9 mà mình chưa giải được. Mong các bạn giải cụ thể và sớm nhất. Mình nhất định sẽ hậu tạ cho những bài giải tốt.
1. Một hình thoi có diện tích bằng một nửa diện tích hình vuông có cạnh bằng cạnh của hình thoi. Tính tỉ số của đường chéo dài và đường chéo ngắn của hình thoi.
2. Một tam giác vuông có chu vi 72 cm, hiệu độ dài giữa đường trung tuyến và đường cao ứng với cạnh huyền bằng 7cm. Tính diện tích tam giác đó.
3. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Tia phân giác của góc HAC cắt HC ở D. Gọi K là hình chiếu của D trên AC. Biết BC=25cm, DK=6cm và AB>2DK. Tính AB.
4. (đề nó không rõ ràng lắm)Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh AB,AC,CA (theo đơn vị cm) la ba số tự nhiên liên tiếp tăng dần, có đường cao AH, đường trung tuyến AM. Tính độ dài HM.
5. Cho tam giác ABC vuông tại A, gọi I là giao điểm của ba đường phân giác. Biết AB=5cm,IC=6cm. Tính BC.
6. Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi I là giao điểm của các đường phân giác, M là trung điểm của BC. Biết AB=6cm,AC=8cm.Tính góc BIM
7. Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB=6cm, AC=8CM. Tam giác BCD vuông tại D, có BD = 24cm. Hai điểm A và D khác phía nhau đối với đường thẳng D, có BD = 24cm. Hai điểm A và D khác phía nhau đối với đường thẳng BC. Khi đó tính BC+CD.
8. Cho tam giác ABC vân tại A, gọi I là giao điểm của các đường phân giác. Biết IA=2[TEX]sqrt{5}[/TEX] , IB=3cm. Tính AB.
9. Cho tam giác ABC vuông tại A, BC=3[TEX]sqrt{5}[/TEX]. Hình vuông ADEF cạnh 2Ccm có D thuộc AB, E thuộc BC, F thuộc AC. Biết rằng AB>AC. Tính AB và AC.
10. Cho tam giác ABC vuông tại A, gọi I là giao điểm các đường phân giác. Biết IB=[TEX]sqrt{5}[/TEX], IC=[TEX]sqrt{10}[/TEX]. Tính AB.
còn nữa

tôi có bài sau đây: tính tỷ số S giữa lục giác đều nội tiếp trong đng tròn va S hình tròn nội tiếp ấy? ai giải dc tôi khâm phục
@Mod: Không tách bài viết và chú ý gõ tiếng Việt có dấu

 

[kiemkhach1379]

xin lỗi nhưg bạn làm sai

[TEX] Gọi a là độ dài cạnh hình thoi cũng như cạnh hình vuông Diện tích hình thoi : \frac{a^2}{2}[/TEX]

 

[kiemkhach1379]

bài 1 theo tớ ta làm ntn gọi cạnh hv , đường chéo dài , đường chéo ngắn lần lượt là a,x,y
dựng dường cao AH của hình thoi ( hình thoi là ABCD còn hình vuông là EFGH nhé )
$S_{thoi} = \frac{1}{2} . 2a.AH =a.AH $
$S_v= a^2 $
$ta có \frac{S_v}{S_{thoi}} = \frac{a^2}{a.AH} = \frac{a}{AH} $

$do đó \frac{a}{AH} = \frac{1}{2} . \Rightarrow \widehat{AHD} = 30^o $

$\Rightarrow \widehat{ADI} = 15^o $

$tan \widehat{ADI} = \frac{AI}{DI} = \frac{\frac{x}{2} }{\frac{y}{2} } = \frac{x}{y} = 2-\sqrt{3} $

 

[duchieu300699]

Bài 1 là như thế này
Đặt độ dài 2 đường chéo của hình thoi là 2m và 2n (m>n)
Có $m^2+n^2=a^2$ và $2mn=\frac{a^2}{2}$
\Rightarrow $m+n=\frac{a\sqrt[]{3}}{\sqrt[]{2}}$
$m-n=\frac{a}{\sqrt[]{2}}$
Vậy $m=\frac{a(\sqrt[]{3}+1)}{2\sqrt[]{2}}$
$n=\frac{a(\sqrt[]{3}-1)}{2\sqrt[]{2}}$
\Rightarrow $\frac{m}{n}=\frac{\sqrt[]{3}+1}{\sqrt[]{3}-1}=2+\sqrt[]{3}$

 

[huongzinzy]

mọi người ơi có thể giải thích cụ thể hơn bài 5 đc không...e không hiểu nắm..tks m.n ợ

 

[taczantheki21]

Thấy bài này bà Ngân chưa làm nên làm thử )

[TEX]BC = 2. AM[/TEX]

[TEX] AM - AH = 7[/TEX]

[TEX]\Rightarrow AH = \frac{BC}{2} - 7[/TEX]

[TEX]AB + AC + BC = 72[/TEX]

[TEX]\Rightarrow AB + AC = 72 - BC[/TEX]

[TEX]\Rightarrow AB^2 + AC^2 + 2. AB.AC = 5184 - 144BC + BC^2[/TEX]

Mà [TEX]AB^2 + AC^2 = BC^2[/TEX]

[TEX]\Rightarrow 2. AB .AC = 5184 - 144BC[/TEX]

[TEX]\Rightarrow 2 . BC .AH = 5184 - 144 BC[/TEX]

[TEX]\Rightarrow 2. BC (\frac{BC}{2}-7) = 5184 - 144 BC[/TEX]

[TEX]\Rightarrow BC^2 - 130BC - 5184 = 0[/TEX]

[TEX]\Rightarrow BC = 32[/TEX]

[TEX]\Rightarrow AH = 9[/TEX]

[TEX]\Rightarrow S = 144 [/TEX]

Đáp án đúng oài )

 

[Thanh Phú]

k