Cho tứ giác ABCD, E là giao điểm của các đường thẳng AB và CD, F là giao điểm của các đường thẳng BC và AD. Các tia phân giác của các góc E và F cắt nhau ở I. Chứng minh rằng : :a) nếu góc BAD= 130°, góc BCD = 50° thì IE vuông góc với IF b) Góc EIF bằng nửa tổng của một trong hai cặp góc đối của tứ giác ABCD
Ta có: $\hat{A}+\hat{C} = 130^o+50^o = 180^o$
=> $\hat{B}+\hat{D}=180^o$
Xét tam giác EBC có IE là tia phân giác
=> $\widehat{IEA}=\frac{\widehat{BEC}}{2}=\frac{180^{o}-(\hat{B}+\hat{C})}{2}$
Xét tam giác FDC có IF là tia phân giác
=> $\widehat{AFI}=\frac{\widehat{DFC}}{2}=\frac{180^{o}-(\hat{D}+\hat{C})}{2}$
=> $\widehat{EIF}=360^o-\widehat{IEA}-\widehat{AFI}-\widehat{EAF}=360^o - [\frac{180^{o}-(\hat{B}+\hat{C})}{2}+\frac{180^{o}-(\hat{D}+\hat{C})}{2}]-180^o-180^o+\hat{A} = \hat{A}-\frac{360^o-(\hat{B}+\hat{D})-2\hat{C}}{2} = 130^o -\frac{360^o-180^o-2.50^o}{2} = 90^o$
=> $IE \perp IF$ (đpcm)
b) Xét tam giác EBC có IE là tia phân giác
=> $\widehat{IEA}=\frac{\widehat{BEC}}{2}=\frac{180^{o}-(\hat{B}+\hat{C})}{2}$
Xét tam giác FDC có IF là tia phân giác
=> $\widehat{AFI}=\frac{\widehat{DFC}}{2}=\frac{180^{o}-(\hat{D}+\hat{C})}{2}$
=> $\widehat{EIF}=360^o-\widehat{IEA}-\widehat{AFI}-\widehat{EAF}=360^o - [\frac{180^{o}-(\hat{B}+\hat{C})}{2}+\frac{180^{o}-(\hat{D}+\hat{C})}{2}]-180^o-180^o+\hat{A}=\hat{A}-\frac{360^o-\hat{C}-(\hat{B}+\hat{C}+\hat{D})}{2} = \hat{A}-\frac{360^o-\hat{C}-360^o+\hat{A}}{2} = \frac{2\hat{A}-360^o+\hat{C}+360^o-\hat{A}}{2} = \frac{\hat{A}+\hat{C}}{2}$
=> đpcm
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
