tứ giác nội tiếp

[hangyeumele]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Từ 1 đỉnh A của hình vuông ABCD kẻ 2 tia tạo với nhau một góc 45 độ. Một tia cắt cạnh BC tại E cắt đường chéo BD tại P, tia kia cắt cạnh CD tại F và cắt đường chéo BD tại Q.
a, Chứng minh rằng 5 điểm E, P, Q, E, F cùng nằm trên 1 đường tròn.
b, Chứng minh rằng: S tam giác AEF= 2S tam giác AQP
c, Kẻ trung trực của cạnh CD cắt AE tại M , tính số đo góc MAB biết góc CPD= góc CMD.

 

[letsmile519]

a)

$\angle EAQ=\angle QBE=45^0$

=> AQEB nội tiếp

=> $\angle AQE=90^0$

Tương tự

=> góc APF=90 độ

=> QPEF nội tiếp

 

[letsmile519]

b)

Ta có $\angle FAP=45^0$

\Rightarrow Tam giác APF vuông cân tại P

=> $AF=\sqrt{2}AP$

Tương tự

$AE=\sqrt{2}.AQ$

\Rightarrow $\frac{S_{EAF}}{S_{AQP}}=\frac{AE.AF}{AP.AQ}=\frac{\sqrt{2}.\sqrt{2}.AP.AQ}{AP.AQ}=2$

\Rightarrow ĐPCM

 

[congchuaanhsang]

c, $\hat{DMC}=\hat{DPC}$ \Rightarrow DMPC nội tiếp

$\hat{FPE}=\hat{ECF}=90^0$ \Rightarrow FPEC nội tiếp

\Rightarrow $\hat{EPC}=\hat{EFC}$

Tương tự $\hat{APD}=\hat{AFD}$

\Rightarrow $\hat{EPC}+\hat{APD}=\hat{EFC}+\hat{AFD}$

\Leftrightarrow $\hat{DPC}=\hat{AFE}=\hat{APQ}$

\Leftrightarrow $\hat{DPC}=\hat{MCD}$ \Leftrightarrow

$\hat{DMC}=\hat{MCD}=\hat{MDC}=60^0$

\Leftrightarrow $\hat{ADM}=30^0=\hat{MCB}$

Lại có $\hat{ADB}=45^0$ \Rightarrow $\hat{MDP}=15^0=\hat{MCP}$

\Rightarrow $\hat{PCB}=30^0-15^0=15^0=\hat{PFE}$

Nên $\hat{AFE}=45^0+15^0=60^0=\hat{APQ}$

\Rightarrow $\hat{MAB}=\hat{APQ}-\hat{ABP}=15^0$