Cho tam giác ABC có AB<AC. Đường tròn đường kính BC cắt AB và AC lần lượt tại E và F. Biết BF cắt CE tại H và AH cắt BC tại D
a) C/m BEFC nội tiếp và AH vuông góc với BC
b) C/m: AE.AB=AF.AC
c) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và K là trung điểm của BC. Tính tỉ số OK/BC khi tứ giác BHOC nội tiếp.
a) Vì: Đường tròn đường kính BC cắt AB và AC lần lượt tại E và F (gt) nên: E, F thuộc đường tròn đường kính BC [TEX]\Leftrightarrow[/TEX] B, E, F, C cùng nằm trên 1 đương tròn[TEX]\Leftrightarrow[/TEX]BEFC là tứ giác nội tiếp.
Vì E thuộc đường tròn đường kính BC (CMT) nên: BE vuông góc với CE
Mà E nằm trên AB (gt)
[TEX]\Rightarrow[/TEX] CE vuông góc với AB (1)
Cm tương tự ta được BF vuông góc với AC (2)
Mà: Biết BF cắt CE tại H (gt) (3)
Từ (1, 2, 3) [TEX]\Rightarrow[/TEX] H là trực tâm của tam giác ABC
Mặt khác:AH cắt BC tại D (gt)
[TEX]\Rightarrow[/TEX] AH vuông góc với BC
b) Xét hai tam giác: AEC và AFB có:
[TEX]\{BAC}[/TEX] chung
và: [TEX]\{AEC}[/TEX]=[TEX]\{AFB}[/TEX]=90 độ
[TEX]\Rightarrow[/TEX] hai tam giác trên đồng dạng
[TEX]\Rightarrow[/TEX][TEX]\frac{AE}{AF}[/TEX]=[TEX]\frac{AC}{AB}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow[/TEX] AE.AB=AF.AC
c) KHi BHOC nội tiếp thì: [TEX]\{BHC}[/TEX]=[TEX]\{BOC}[/TEX]
VÌ tam giác ABC nội tiếp đương tròn tâm O(gt ) nên: [TEX]\{BAC}[/TEX]=[TEX]\frac{1}{2}[/TEX].[TEX]\{BOC}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow[/TEX] [TEX]\{BAC}[/TEX]=[TEX]\frac{1}{2}[/TEX][TEX]\{BHC}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow[/TEX][TEX]\{BAC}[/TEX]=[TEX]\frac{1}{2}[/TEX][TEX]\{EHF}[/TEX](5)
Dễ dàng chứng minh được: tứ giác AEHF nội tiếp. Khi đó[TEX]\{EAF}[/TEX] + [TEX]\{EHF}[/TEX] =180 độ
hay: TEX]\{BAC}[/TEX] + [TEX]\{EHF}[/TEX] =180 độ(6)
Từ (5,6) suy ra: [TEX]\{BAC}[/TEX] = 60 độ
[TEX]\Rightarrow[/TEX] [TEX]\{BOC}[/TEX] =120 độ
dễ àng cm được: [TEX]\{BOK}[/TEX]=[TEX]\frac{1}{2}[/TEX][TEX]\{BOC}[/TEX] =60 độ
[TEX]\Rightarrow[/TEX][TEX]\{OBK}[/TEX]=30 ĐỘ
[TEX]\Rightarrow[/TEX] OK =[TEX]\frac{1}{2}[/TEX] BO
Áp dụng định lý Py ta go, ta tính được: BK =[TEX]\frac{\sqrt[2]{3}}{2}[/TEX]BO
Từ đó tính được BC =[/TEX]\sqrt[2]{3}BO[/TEX]
[TEX]\Rightarrow[/TEX] [TEX]\frac{OK}{BC}[/TEX]=[TEX]\frac{1}{2\sqrt[2]{3}}[/TEX].
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn