Lấy H' trên BC sao cho [tex]\widehat{CH'P}=\widehat{TBP} \Rightarrow \widehat{BH'P}=180^o-\widehat{TBP}=\widehat{TCP}[/tex]
Khi đó ta chứng minh được [tex]\left\{\begin{matrix} \Delta CH'P \sim \Delta TBP\\ \Delta BH'P \sim \Delta TCP \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{CH'}{H'P}=\frac{TB}{BP}\\ \frac{BH'}{H'P}=\frac{TC}{CP} \end{matrix}\right.[/tex]
Lại có: [tex]\Delta ABP \sim \Delta ATB\Rightarrow \frac{TB}{BP}=\frac{AB}{AP}[/tex]
Tương tự thì [tex]\frac{TC}{CP}=\frac{AC}{AP} \Rightarrow \frac{TB}{BP}=\frac{TC}{CP}\Rightarrow \frac{BH'}{H'P}=\frac{CH'}{H'P}\Rightarrow BH'=H'C \Rightarrow[/tex] H trùng H'.
Từ đó thì [tex]\widehat{TPC}=\widehat{BPH}[/tex]
Mà FH là đường trung bình tam giác BEC nên [tex]FH//EC \Rightarrow \widehat{BHF}=\widehat{BCN}=\widehat{BPN} \Rightarrow BFHP[/tex] nội tiếp [TEX]\Rightarrow \widehat{BPH}=180^o-\widehat{BFH}=90^o \Rightarrow \widehat{TPC}=90^o \Rightarrow T,O,C[/TEX] thẳng hàng.
Lại có: [tex]AH.AO=AP.AT=AB^2 \Rightarrow TOHP[/tex] nội tiếp [tex]\Rightarrow \widehat{TPH}=\widehat{TON}=\widehat{COM}=\widehat{BTC}=\widehat{BCA} \Rightarrow[/tex] HPAC nội tiếp.
[TEX]\Rightarrow \widehat{HAP}=\widehat{HCP}=\widehat{BTP} \Rightarrow BT//MN[/TEX]
Giả sử BP cắt AH tại K, HP cắt BT tại I.
Vì TOHP nội tiếp nên [TEX]\widehat{THP}=\widehat{TOP}=2\widehat{TCP}=2\widehat{BHP} \Rightarrow HB[/TEX] là phân giác của [TEX]\widehat{THP}[/TEX].
Mà [TEX]HB \perp TI \Rightarrow [/TEX] HB là trung trực của TI hay [TEX]BT=BI[/TEX]
Theo định lí Thales thì [tex]\frac{BT}{BI}=\frac{AK}{KH} \Rightarrow AK=KH[/tex]
Nếu có thắc mắc gì bạn có thể gửi câu hỏi tại topic này nhé.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
