Toán 9 Từ bất đẳng thức ra đẳng thức

[Minh Tín]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh rằng nếu [TEX]x,y,z[/TEX] là số nguyên thỏa [TEX]x(x+z) < y(y+z) < (x+2)(x+2+z)[/TEX] thì [TEX]y(y+z)=(x+1)(x+1+z)[/TEX].

 

[7 1 2 5]

Ta có: [tex]x(x+z)< y(y+z)\Rightarrow x^2+xz< y^2+yz\Rightarrow x^2-y^2+xz-yz< 0\Rightarrow (x-y)(x+y+z)< 0[/tex]
[tex]y(y+z)< (x+2)(x+2+z)\Rightarrow y^2+yz-(x+2)^2-(x+2)z< 0\Rightarrow (y-x-2)(x+y+z+2)< 0[/tex]
+ Với [TEX]x+y+z < -2[/TEX] thì ta có [TEX]x-y>0,y-x-2>0 \Rightarrow x > y > x+2[/TEX](vô lí)
+ Với [TEX]x+y+z=-2[/TEX] hoặc [TEX]x+y+z=0[/TEX] ta có 0 < 0(vô lí)
+ Với [TEX]x+y+z=-1[/TEX]. Ta có: [TEX]x+1+z=-y,x+1=-(y+z)[/TEX] nên [TEX]y(y+z)=(x+1)(x+1+z)[/TEX](đpcm)
+ Với [TEX]x+y+z>0 \Rightarrow x < y < x+2 \Rightarrow y=x+1 \Rightarrow y(y+z)=(x+1)(x+1+z)[/TEX](đpcm)