[Trợ giúp Bất đẳng thức 10]

V

vansang02121998

Áp dụng Cauchy 2 số

$a^5+a \ge 2a^3$

$b^5+b \ge 2b^3$

$c^5+c \ge 2c^3$

$\Rightarrow a^5+b^5+c^5 \ge 2(a^3+b^3+c^3)-a-b-c$

$\Leftrightarrow a^5+b^5+c^5 \ge 6-a-b-c$

Áp dụng Bunhia

$9(a^3+b^3+c^3) \ge (a+b+c)^3$

$\Leftrightarrow a+b+c \le 3$

$\Leftrightarrow 3-a-b-c \ge 0$

$\Leftrightarrow a^5+b^5+c^5 \ge 3$

Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c=1$
 
Last edited by a moderator:
H

happy.swan

Áp dụng bất đẳng thức sau:
Với N số a,.....,n sao cho a+........+n=N
ta luôn có bất đẳng thức sau:
$a^N +....+ n^N \geq a^ {N-1} +....+ n^{N-1}$
Áp dụng
$ a^5 + b^5 + c^5 \geq a^4 + b^4 + c^4$ (1)
$a^4+b^4+c^4 \geq a^3+b^3+c^3=3$ (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra điều phải chứng minh.
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1.
Chứng minh bất đẳng thức trên bằng cách sử dụng BDT AM-GM hai lần.
 
Last edited by a moderator:
H

hthtb22

Thêm cách nữa
Theo AM_GM 5 số thì
$a^5+a^5+a^5+1+1 \ge 5a^3$
Nên $3(a^5+b^5+c^5)+6 \ge 5(a^3+b^3+c^3)$ OK
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom