- 19 Tháng sáu 2021
- 2
- 6
- 6
- 23
- TP Hồ Chí Minh
- ĐH Bách Khoa TP.HCM
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Trị riêng - Vector riêng là một chương thuộc môn Đại số tuyến tính (Linear Algebra). Mình làm topic này để các bạn sinh viên năm nhất thuộc khối ngành kỹ thuật dễ dàng tổng hợp kiến thức hay bạn nào có nhu cầu tham khảo thêm. Và có lẽ mình sẽ chia chương này thành nhiều kỳ đăng.
[TBODY]
[/TBODY]1. Trị riêng - vector riêng
[TBODY]
[/TBODY]Trong công thức trên, [TEX]x[/TEX] được viết dưới dạng cột.
[TEX]x[/TEX] [TEX]\neq[/TEX] 0 là VTR của A nếu [TEX]Ax[/TEX] cùng phương với [TEX] x[/TEX].
Giả sử [TEX]x\neq[/TEX]0 là VTR ứng với TR [TEX]λ[/TEX] của A, tức là:
[TEX]Ax = λx\Rightarrow A.(\alpha x) = \alpha Ax =\alpha λx = λ.(\alpha x) [/TEX]
Điều này chứng tỏ [tex]\alpha x[/tex], [tex]\alpha[/tex] [TEX]\neq[/TEX] 0 cũng là VTR của A ứng với TR [TEX]λ[/TEX].
Để dễ hiểu hơn chúng ta cùng đi đến một số thí dụ:
Thí dụ 1 Cho [tex]A =\begin{pmatrix} 1 & 6\\ 5 & 2 \end{pmatrix}[/tex] và [tex]u=\begin{pmatrix}6\\-5\end{pmatrix}[/tex], [tex]v=\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}[/tex]. Vector nào là VTR của A? Chỉ rõ TR tương ứng.
Bài giải
Ta có [TEX]Au=\begin{pmatrix} 1 & 6\\ 5&2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 6\\-5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-24\\20\end{pmatrix}=-4 \begin{pmatrix} 6\\-5\end{pmatrix} =-4u[/TEX]
Suy ra [tex]u[/tex] là VTR ứng với TR [TEX]λ = −4.[/TEX]
[tex]Av=\begin{pmatrix} 1 & 6\\ 5&2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-9\\11\end{pmatrix}[/tex]
[TEX]Av[/TEX] không cùng phương với v, do đó v không là VTR của [TEX]A[/TEX].
Ta xét đến thí dụ tiếp theo để hiểu rõ hơn vấn đề này.
Thí dụ 2 Cho [tex]A =\begin{pmatrix} 3 & 4\\ 6 & 5 \end{pmatrix}[/tex], [TEX]λ_1=−1, λ_2=3[/TEX]. Số nào là TR của A?
Bài giải
a. [tex]\alpha_1=-1[/tex] là TR của ma trận A nếu tồn tại [TEX]x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}\neq0[/TEX] thỏa [tex]Ax = λ_1x[/tex]
[TEX]\Longleftrightarrow \begin{pmatrix} 3 & 4\\ 6&5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1\\x_2\end{pmatrix}=-1\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}\Longleftrightarrow [/TEX][tex]\left\{\begin{matrix} 3x_1 + 4x_2 = -x_1\\ 6x_1 + 5x_2 = -x_2 \end{matrix}\right. \Longleftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_1 =\alpha\\ x_2=-\alpha \end{matrix}\right.[/tex]
Như vậy [tex]x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2 \end{pmatrix}, \alpha\neq 0[/tex] là các VTR ứng với TR [tex]λ = −1[/tex] của A.
b. [tex]\alpha_1=3[/tex] là TR của ma trận A nếu tồn tại [TEX]x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}\neq0[/TEX] thỏa [tex]Ax = λ_2x[/tex]
[TEX]\Longleftrightarrow \begin{pmatrix} 3 & 4\\ 6&5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1\\x_2\end{pmatrix}=3\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}\Longleftrightarrow [/TEX][tex]\left\{\begin{matrix} 3x_1 + 4x_2 = 3x_1\\ 6x_1 + 5x_2 = 3x_2 \end{matrix}\right. \Longleftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_1 =0\\ x_2=0 \end{matrix}\right.[/tex]
Điều này chứng tỏ không tồn tại [tex]x\neq 0[/tex] thỏa [tex]Ax = 3x[/tex] do đó [tex]λ_2 = 3 [/tex] không phải TR của ma trận A.
Định nghĩa 1 (Các khái niệm cơ bản)
Giả sử [TEX]λ_0[/TEX] là TR của ma trận vuông A, tức là
[tex]A \iff ∃x_0\neq 0 : Ax_0 = λx_0 \iff Ax_0 − λ_0x_0 = 0 \iff(A − λI)x_0 = 0. [/tex]
Vì hệ thuần nhất [tex](A − αI)x = 0[/tex] có nghiệm không tầm thường nên
Lí thuyết có vẻ đã nhiều, giờ thì chúng ta đến với các bước giải bài toán dạng này thôi :3
[TBODY]
[/TBODY]Định nghĩa 2
i) Bội đại số (BĐS) của trị riêng [tex]λ_i[/tex] là bội nghiệm của [tex]λ_i[/tex] trong phương trình đặc trưng. [tex]λ_i[/tex] là nghiệm đơn thì BĐS=1, [tex]λ_i[/tex] là nghiệm kép thì BĐS=2...
ii) Không gian con riêng của trị riêng [tex]λ_i[/tex] là tập nghiệm của hệ [tex](A − λ_i)x = 0[/tex], kí hiệu là [tex]E_{λi}[/tex]
iii) Bội hình học (BHH) của λi là số chiều của [tex]E_{λi} : BHH = dim(E_{λi}).[/tex]
Định lý 3 Cho A là ma trận vuông.
i) Cơ sở của các không gian con riêng lập thành một hệ độc lập tuyến tuyến tính.
ii) 1 ≤ BHH ≤ BĐS cho tất cả các trị riêng [tex]λ_i[/tex].
Từ những cơ sở lí thuyết nêu trên, ta đến với thí dụ sau để nắm được ý tưởng để giải bài toán dạng này nhé :3
Thí dụ 3 Cho ma trận [tex]A= \begin{pmatrix} 1& m & 2\\ 2& 1 & 0\\ -1&1 &3 \end{pmatrix}[/tex]
a. Tìm m để A có TR [TEX]λ = −3.[/TEX]
b. Tìm m để [tex]x=\begin{pmatrix} 1\\ 4\\ -2 \end{pmatrix}[/tex] là VTR của A.
Bài giải
a. A có TR
[TEX] λ = −3[/TEX]
khi và chỉ khi [tex]det(A -{\color{Red} {(-3)}}I) = 0[/tex]
[tex]\begin{vmatrix} 1+{\color{Red} 3} & m &2 \\ 2 &1+{\color{Red} 3} & 0\\ -1 & 1 & 1+{\color{Red} 3} \end{vmatrix} \Longleftrightarrow108-12m=0\Longleftrightarrow m=9[/tex]
b. [TEX]x[/TEX] là VTR của A khi và chỉ khi tồn tại số [TEX]λ[/TEX] thỏa [TEX]Ax = λx[/TEX]
[tex]\Longleftrightarrow \begin{pmatrix} 1 & m& 2\\ 2& 1& 0\\ -1& 1& 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\ 4\\ -2 \end{pmatrix} = \lambda\begin{pmatrix} 1\\ 4\\ -2 \end{pmatrix} \Longleftrightarrow \begin{pmatrix} 4m-3\\ 6\\ -3 \end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix} 1\\ 4\\ -2 \end{pmatrix} \Longleftrightarrow \left\{\begin{matrix} \lambda=\frac{3}{2}\\ m=\frac{9}{8} \end{matrix}\right.[/tex]
Do cách giải tìm nghiệm hệ phía trên vô cùng đơn giản nên mình xin phép không trình bày chi tiết.
Đến đây thì bài viết có lẽ cũng đã dài, cảm ơn các bạn đã dành thời gian đọc nó. Mình xin mạn phép kết thúc Kỳ 1 ở đây.
Vào kỳ tới, mình sẽ giải thêm một vài thí dụ nữa để các bạn nắm được một số dạng toán cơ bản ở chương này, mong các bạn ủng hộ!
| Nội dung: 1. Trị riêng - vector riêng ma trận 2. Chéo hóa ma trận 3. Chéo hóa ma trận đối xứng thực 4. Trị riêng - vector riêng ánh xạ tuyến tính 5. Chéo hóa ánh xạ tuyến tính |
| Trị riêng - vector riêng của ma trận vuông A. Số [TEX]λ[/TEX] gọi là trị riêng của ma trận A nếu tồn tại vector [tex]x[/tex] khác không thỏa [tex]Ax = λx[/tex] Khi đó, [TEX]x[/TEX] gọi là vector riêng ứng với trị riêng [tex]λ[/tex] của ma trận A. |
[TEX]x[/TEX] [TEX]\neq[/TEX] 0 là VTR của A nếu [TEX]Ax[/TEX] cùng phương với [TEX] x[/TEX].
Giả sử [TEX]x\neq[/TEX]0 là VTR ứng với TR [TEX]λ[/TEX] của A, tức là:
[TEX]Ax = λx\Rightarrow A.(\alpha x) = \alpha Ax =\alpha λx = λ.(\alpha x) [/TEX]
Điều này chứng tỏ [tex]\alpha x[/tex], [tex]\alpha[/tex] [TEX]\neq[/TEX] 0 cũng là VTR của A ứng với TR [TEX]λ[/TEX].
Để dễ hiểu hơn chúng ta cùng đi đến một số thí dụ:
Thí dụ 1 Cho [tex]A =\begin{pmatrix} 1 & 6\\ 5 & 2 \end{pmatrix}[/tex] và [tex]u=\begin{pmatrix}6\\-5\end{pmatrix}[/tex], [tex]v=\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}[/tex]. Vector nào là VTR của A? Chỉ rõ TR tương ứng.
Bài giải
Ta có [TEX]Au=\begin{pmatrix} 1 & 6\\ 5&2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 6\\-5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-24\\20\end{pmatrix}=-4 \begin{pmatrix} 6\\-5\end{pmatrix} =-4u[/TEX]
Suy ra [tex]u[/tex] là VTR ứng với TR [TEX]λ = −4.[/TEX]
[tex]Av=\begin{pmatrix} 1 & 6\\ 5&2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-9\\11\end{pmatrix}[/tex]
[TEX]Av[/TEX] không cùng phương với v, do đó v không là VTR của [TEX]A[/TEX].
Ta xét đến thí dụ tiếp theo để hiểu rõ hơn vấn đề này.
Thí dụ 2 Cho [tex]A =\begin{pmatrix} 3 & 4\\ 6 & 5 \end{pmatrix}[/tex], [TEX]λ_1=−1, λ_2=3[/TEX]. Số nào là TR của A?
Bài giải
a. [tex]\alpha_1=-1[/tex] là TR của ma trận A nếu tồn tại [TEX]x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}\neq0[/TEX] thỏa [tex]Ax = λ_1x[/tex]
[TEX]\Longleftrightarrow \begin{pmatrix} 3 & 4\\ 6&5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1\\x_2\end{pmatrix}=-1\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}\Longleftrightarrow [/TEX][tex]\left\{\begin{matrix} 3x_1 + 4x_2 = -x_1\\ 6x_1 + 5x_2 = -x_2 \end{matrix}\right. \Longleftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_1 =\alpha\\ x_2=-\alpha \end{matrix}\right.[/tex]
Như vậy [tex]x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2 \end{pmatrix}, \alpha\neq 0[/tex] là các VTR ứng với TR [tex]λ = −1[/tex] của A.
b. [tex]\alpha_1=3[/tex] là TR của ma trận A nếu tồn tại [TEX]x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}\neq0[/TEX] thỏa [tex]Ax = λ_2x[/tex]
[TEX]\Longleftrightarrow \begin{pmatrix} 3 & 4\\ 6&5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1\\x_2\end{pmatrix}=3\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}\Longleftrightarrow [/TEX][tex]\left\{\begin{matrix} 3x_1 + 4x_2 = 3x_1\\ 6x_1 + 5x_2 = 3x_2 \end{matrix}\right. \Longleftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_1 =0\\ x_2=0 \end{matrix}\right.[/tex]
Điều này chứng tỏ không tồn tại [tex]x\neq 0[/tex] thỏa [tex]Ax = 3x[/tex] do đó [tex]λ_2 = 3 [/tex] không phải TR của ma trận A.
Định nghĩa 1 (Các khái niệm cơ bản)
Giả sử [TEX]λ_0[/TEX] là TR của ma trận vuông A, tức là
[tex]A \iff ∃x_0\neq 0 : Ax_0 = λx_0 \iff Ax_0 − λ_0x_0 = 0 \iff(A − λI)x_0 = 0. [/tex]
Vì hệ thuần nhất [tex](A − αI)x = 0[/tex] có nghiệm không tầm thường nên
[tex]det(A − λI) = 0[/tex]: gọi là phương trình đặc trưng của A.
Đa thức theo [tex]λ : PA(λ) = det(A − λI)[/tex] gọi là đa thức đặc trưng của A.Lí thuyết có vẻ đã nhiều, giờ thì chúng ta đến với các bước giải bài toán dạng này thôi :3
| Tìm TR-VTR của ma trận vuông B1. Tính đa thức đặc trưng [tex]P(λ) = det(A − λI).[/tex] Nghiệm của [tex]P(λ)[/tex] là TR của A B2. Với mỗi TR [tex]λ_i[/tex] , giải hệ [tex](A − λiI)x=0[/tex] ta được VTR ứng với TR [tex]λ_i[/tex]. |
i) Bội đại số (BĐS) của trị riêng [tex]λ_i[/tex] là bội nghiệm của [tex]λ_i[/tex] trong phương trình đặc trưng. [tex]λ_i[/tex] là nghiệm đơn thì BĐS=1, [tex]λ_i[/tex] là nghiệm kép thì BĐS=2...
ii) Không gian con riêng của trị riêng [tex]λ_i[/tex] là tập nghiệm của hệ [tex](A − λ_i)x = 0[/tex], kí hiệu là [tex]E_{λi}[/tex]
iii) Bội hình học (BHH) của λi là số chiều của [tex]E_{λi} : BHH = dim(E_{λi}).[/tex]
Định lý 3 Cho A là ma trận vuông.
i) Cơ sở của các không gian con riêng lập thành một hệ độc lập tuyến tuyến tính.
ii) 1 ≤ BHH ≤ BĐS cho tất cả các trị riêng [tex]λ_i[/tex].
Từ những cơ sở lí thuyết nêu trên, ta đến với thí dụ sau để nắm được ý tưởng để giải bài toán dạng này nhé :3
Thí dụ 3 Cho ma trận [tex]A= \begin{pmatrix} 1& m & 2\\ 2& 1 & 0\\ -1&1 &3 \end{pmatrix}[/tex]
a. Tìm m để A có TR [TEX]λ = −3.[/TEX]
b. Tìm m để [tex]x=\begin{pmatrix} 1\\ 4\\ -2 \end{pmatrix}[/tex] là VTR của A.
Bài giải
a. A có TR
[TEX] λ = −3[/TEX]
khi và chỉ khi [tex]det(A -{\color{Red} {(-3)}}I) = 0[/tex]
[tex]\begin{vmatrix} 1+{\color{Red} 3} & m &2 \\ 2 &1+{\color{Red} 3} & 0\\ -1 & 1 & 1+{\color{Red} 3} \end{vmatrix} \Longleftrightarrow108-12m=0\Longleftrightarrow m=9[/tex]
b. [TEX]x[/TEX] là VTR của A khi và chỉ khi tồn tại số [TEX]λ[/TEX] thỏa [TEX]Ax = λx[/TEX]
[tex]\Longleftrightarrow \begin{pmatrix} 1 & m& 2\\ 2& 1& 0\\ -1& 1& 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\ 4\\ -2 \end{pmatrix} = \lambda\begin{pmatrix} 1\\ 4\\ -2 \end{pmatrix} \Longleftrightarrow \begin{pmatrix} 4m-3\\ 6\\ -3 \end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix} 1\\ 4\\ -2 \end{pmatrix} \Longleftrightarrow \left\{\begin{matrix} \lambda=\frac{3}{2}\\ m=\frac{9}{8} \end{matrix}\right.[/tex]
Do cách giải tìm nghiệm hệ phía trên vô cùng đơn giản nên mình xin phép không trình bày chi tiết.
Đến đây thì bài viết có lẽ cũng đã dài, cảm ơn các bạn đã dành thời gian đọc nó. Mình xin mạn phép kết thúc Kỳ 1 ở đây.
Vào kỳ tới, mình sẽ giải thêm một vài thí dụ nữa để các bạn nắm được một số dạng toán cơ bản ở chương này, mong các bạn ủng hộ!
