Trao đổi xung quanh các vấn đề về tích phân

[vvviet]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

[tex] \int\limits_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{(x+1)cosx}{sin^2 x + 2} dx [/tex]
Nếu có bài tích phân nào chưa giải được các bạn hãy post lên để cùng trao đổi

 

[torai112]

[tex] \int\limits_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{(x+1)cosx}{sin^2 x + 2} dx [/tex]
Nếu có bài tích phân nào chưa giải được các bạn hãy post lên để cùng trao đổi

Tách tử ra :

TP=I1 + I2 với :
I1=[tex]\int\limits_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{xcosx}{sin^2 x + 2} dx [/tex]
I2=[tex] \int\limits_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{cosx}{sin^2 x + 2} dx [/tex] .
Nhận xét : I1 là hàm lẻ và cận đối nhau nên I1=0.
I2 : Ta có : coxxdx=d(sinx) nên
I2=[tex] \int\limits_{-\frac{\căn(2)}{2}}^{\frac{\căn(2)}{2}} \frac{1}{t^2 + 2} dt [/tex]

Còn lại thì bạn tính tiếp nhé !

Chúc vui vẻ

 

[vvviet]

Thật sự thì bài hàm lẻ ở trên mình đưa ra để các bạn khởi động thôi , chúng ta bắt đầu vượt chướng ngại vật :
[tex]\int\limits_{0}^{1} \frac {x}{1 + cosx} dx[/tex]

 

[torai112]

Thật sự thì bài hàm lẻ ở trên mình đưa ra để các bạn khởi động thôi , chúng ta bắt đầu vượt chướng ngại vật :

[tex]\int\limits_{0}^{1} \frac {x}{1 + cosx} dx[/tex]

Bài này có thể làm như sau :

TP=
[tex]\int\limits_{0}^{1} \frac {x}{2 cos(x/2)^2} dx[/tex]
=
[tex]\int\limits_{0}^{1} \frac {x}{cos(x/2)^2} dx[/tex]
Áp dụng công thức tính tích phân từng phần :
Đặt u=x,1/cos(x)^2dx=dv==>u'=1,v=tgx .
TP=Thế cận (xtgx)-
[tex]\int\limits_{0}^{0.5} \{tgx} dx[/tex]

Đến đây chỉ cần tính tích phân của tgx chắc là ra

(Nói thật mình hok biết và ngại đánh Latex nên hok mún đánh nhìu ! Cả cái trên là mình copy của bạn ra đó chứ :"> !) ! Xông cảm nha
Chúc vui vẻ

 

[quangghept1]

torai112 làm ko đúng rồi , nguyên hàm của cái [tex]\frac{x}{cos^2(\frac{x}{2})}[/tex] ko thể là tgx được , bài này dùng tích phân từng phần với

[tex]v=x[/tex]

[tex]u.du=\frac{dx}{cos^2(\frac{x}{2})}[/tex]

[tex]I=2 \int x.d(tg\frac{x}{2})=2 [x.tg\frac{x}{2}- \int tg\frac{x}{2}.dx][/tex]

Tính dễ rồi đấy

 

[torai112]

torai112 làm ko đúng rồi , nguyên hàm của cái [tex]\frac{x}{cos^2(\frac{x}{2})}[/tex] ko thể là tgx được , bài này dùng tích phân từng phần với

[tex]v=x[/tex]

[tex]u.du=\frac{dx}{cos^2(\frac{x}{2})}[/tex]

[tex]I=2 \int x.d(tg\frac{x}{2})=2 [x.tg\frac{x}{2}- \int tg\frac{x}{2}.dx][/tex]

Cậu không hiểu àh ? Đấy là mình làm một bước tắt : Thay đổi cận : x/2-->x,1-->0,5 !

Được chứ ?

Nếu thay vào xem kết quả thế nào ?

 

[vvviet]

Bây giờ sẽ là tăng tốc :
[tex] \int\limits_{5\pi/3}^{3\pi/2}\frac{cos2x}{coxx - \sqrt{3}sinx} dx [/tex] Đây là 1 bài trong đề thi đại học trước đây

 

[quangghept1]

Làm bài tăng tốc cái

[tex]I=\int \frac{cos2x.dx}{2.cos(x+\frac{ \pi}{3})}=\int \frac{cos2(t-\frac{ \pi}{3})dt}{2cost}=\int \frac{cos2t.cos \frac{2 \pi}{3}+sin2t.sin \frac{2 \pi}{3}}{2cost}.dt [/tex]

Tách ra và phân tích từng cái là có tích phân cơ bản , nhưng có vẻ cách này dài

 

[vvviet]

Cách của bạn quangghept1 đúng là hơi dài , ở đây mình muốn nói đến 1 phương pháp khá phổ biến trong tích phân hữu tỉ của hàm lượng giác :
Đổi biến số ta duoc[tex] I = \int\limits_{\pi/6}^{0}\frac{cox2t}{sint + \sqrt{3}cost}dt [/tex]
[tex]I = \int\limits_{\pi/6}^{0} \frac{ cos^2t - sin^2t}{sint + \sqrt{3}cost}dt [/tex]
thực ra không cần đổi biến số như trên cũng được , nhưng đổi xong thấy cận đẹp hơn
[tex]I_1 = \int\limits_{\pi/6}^{0} \frac{ cos^2t }{sint + \sqrt{3}cost}dt [/tex]
[tex]I_2 = \int\limits_{\pi/6}^{0} \frac{ sin^2t }{sint + \sqrt{3}cost}dt [/tex]
[tex]I_1 + I_2[/tex] = đơn giản
[tex]I_2 - 3I_1[/tex] = đơn giản
sau đó ta dễ dàng tính được [tex]I_1 - I_2[/tex]
theo mình đây một cách khá đẹp để giải các bài tích phân dạng này !

 

[vvviet]

Bây giờ là về đích :
[tex]I = \int\limits_{1}^{2} \frac{x^2 - 2}{x^4 - 2x^3 + x^2 - 4x +4}dx [/tex]

 

[vvviet]

Sao không ai về đích cả vậy ? đến đích rồi mà !! Mà mình thấy bài này cũng khá quen thuộc , có thể các bạn chưa có thời gian thôi . Chờ câu trả lời của các bạn !
Còn bạn nào chưa giải được thì xem cái này nhé http://integrals.wolfram.com/index.jsp?expr=(x^2+-+2)/(x^4+-+2x^3+++x^2+-+4x+++4)&random=false
xem xong tự nhiên nghĩ ra cách giải ( nhưng thực sự là cách giải này không được tự nhiên cho lắm ! )

 

[theempire]

Bây giờ là về đích :
[tex]I = \int\limits_{1}^{2} \frac{x^2 - 2}{x^4 - 2x^3 + x^2 - 4x +4}dx [/tex]

Cái này đơn giản dùng sai phân là ra mà
(x^2 - 2)/(x^4 - 2x^3 + x^2 - 4x + 4) = A/(x-1) + B/(x-2) + (Cx+D)/(x^2 + x + 2)

Đến đây bạn có thể xử lý típ gòi

 

[vvviet]

Đầu tiên rất xin lỗi các bạn vì bài này mình cho cận không đúng ( x = 1 , x = 2 thì hàm không xác định ) các bạn có thể cho một cận bất kì để giải
tất nhiên là bài toán này có thể dùng sai phân nhưng thường việc tìm các hệ số A , B , C , D là khá dài . các bạn tham khảo cách sau :
chia tử và mẫu cho x^2
[tex]I = \int \frac { 1 - \frac{2}{x^2} }{x^2 - 2x + 1 - \frac{4}{x} + \frac{4}{x^2}} dx[/tex]
Đặt [tex]t = x + \frac{2}{x}[/tex] ==> [tex]dt = ( 1 - \frac{2}{x^2} ) dx[/tex]
[tex]I = \int \frac {dt}{t^2 - 2t - 3} [/tex]
đến đây bài toán trở nên khá đơn giản
Ở đây mình muốn nói đến dạng pt
[tex]ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0 [/tex] trong đó [tex] \frac{e}{a} = (\frac{d}{b})^2[/tex]
để giải chúng ta xét x = 0 sau đó chia cho[tex] x^2 [/tex] . Bài tích phân trên là một ứng dụng.