Topic toán Đi-rich-lê

[daodung28]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Mình nghĩ rằng toán số vận dụng Đi-rich-lê có nhiều bài rất khó và hay, đòi hỏi trí thông minh cao. Sau đây là một vài lưu ý và bài tập, các bạn cùng làm và ủng hộ mình nhá
I.Kiến thức cần nhớ
Nguyên tắc Đi-rich-lê: nếu nhốt n con thỏ vào k cái chuồng, n và k là các số nguyên dương n>k, n ko chia hết cho k thì tồn tại ít nhất một lồng chứa[TEX]\left [\frac{n}{k} \right] [/TEX]+1 con thỏ
Vận dụng trong phép chia: đem n số nguyên chia cho n luôn tồn tại ít nhất một phép chia hết hoặc ít nhất 2 số có hiệu chia hết cho n
II.Các ví dụ
1. cmr trong 3 số nguyên tố >3 luôn tìm được 2 số có tổng hoặc hiệu chia hết cho 12
2. cho 1 hình vuông và 13 đường thẳng, mỗi đường thẳng chia hình vuông có tỉ lệ S=2:3
cmr trong 13 đường thẳng có ít nhất 4 đường thẳng đồng qui
3. a.cmr trong các số tự nhiên luôn tồn tại số k sao cho [TEX]1983^k-1[/TEX] chia hết cho [TEX]10^5[/TEX]
b. cmr luôn [TEX]\exists \ x\in \ N*[/TEX] sao cho [TEX]25^x-1[/TEX] chia hết cho 17
4. cmr luôn tồn tại số có dạng
20042004...2004 có k số 2004 (1<k<2003) chia hết cho 2003
tạm thế này đã để lần sau post tiếp. ủng hộ mình nhá..

 

[duynhana1]

1. cmr trong 3 số nguyên tố luôn tìm được 2 số có tổng hoặc hiệu chia hết cho 12

Đề chưa chặt, phải là số nguyên tố lớn hơn 11 hay bao nhiêu đó nếu ko thì đề sai với
2;3;5 hoặc 2;5;11 hoặc 2............

4. cmr luôn tồn tại số có dạng
20042004...2004 có k số 2004 (1<k<2003) chia hết cho 2003
tạm thế này đã để lần sau post tiếp. ủng hộ mình nhá..

Bài này quen ơi là quen xử trước cái đã

Xét 2003 số đầu tiên
2004
20042004
200420042004
.....
2004....2004(2003 số)

Trong 2003 số thì có ít nhất 2 số có cùng số dư khi chia cho 2003

Nên hiệu của chúng có dạng
2004...20040...0 chia hết cho 2003

Mà (10...0,2003)=1 nên 2004...2004 chia hết cho 2003

 

[daodung28]

Đề chưa chặt, phải là số nguyên tố lớn hơn 11 hay bao nhiêu đó nếu ko thì đề sai với
2;3;5 hoặc 2;5;11 hoặc 2............

mình sửa lại rồi, số nguyên tố >3 câu 4 duynhana1 làm đúng rồi

 

[duynhana1]

1. cmr trong 3 số nguyên tố >3 luôn tìm được 2 số có tổng hoặc hiệu chia hết cho 12

Giả sử chọn 3 số a,b,c (a>b>c)

Ta có : a,b,c là số nguyên tố nên chia cho 12 sẽ có các số dư sau : 1,5,7,11

Ta chia số dư thành 2 nhóm: 5,7 và 1,11

Ta chỉ có 2 nhóm nên ít nhất có 2 số cùng 1 nhóm.

Giả sử a,b cùng 1 nhóm khi đó ta có: Nếu a,b khác số dư khi chia cho 12 thì tổng của chúng chia hết cho 12, còn nếu cùng số dư khi chia cho 12 thì hiệu của chúng chia hết cho 12.

Bài ni đúng nữa thì làm tiếp :x

 

[duynhana1]

3. a.cmr trong các số tự nhiên luôn tồn tại số k sao cho [TEX]1983^k-1[/TEX] chia hết cho [TEX]10^5[/TEX]
b. cmr luôn [TEX]\exists \ x\in \ N*[/TEX] sao cho [TEX]25^x-1[/TEX] chia hết cho 17

Với [TEX]\left{ m,n \in N* \\ (m,n)=1[/TEX] ta luôn chứng minh được :

[TEX]\exists k :\ \ m^k-1 \vdots n [/TEX]

Xét các số k từ 1 tới [TEX]n+1[/TEX] ta có : tồn tại 2 số [TEX]m^p[/TEX] và [TEX]m^q[/TEX] (p<q) có cùng số dư khi chia cho n

[TEX]\Rightarrow m^q - m^p \vdots n \Leftrightarrow m^p (m^{q-p}-1) \vdots n[/TEX] mà [TEX](m,n)=1[/TEX] nên ta có : [TEX]m^{q-p}-1 \vdots n [/TEX]

 

[daodung28]

Với [TEX]\left{ m,n \in N* \\ (m,n)=1[/TEX] ta luôn chứng minh được :

[TEX]\exists k :\ \ m^k-1 \vdots n [/TEX]

Xét các số k từ 1 tới [TEX]n+1[/TEX] ta có : tồn tại 2 số [TEX]m^p[/TEX] và [TEX]m^q[/TEX] (p<q) có cùng số dư khi chia cho n

[TEX]\Rightarrow m^q - m^p \vdots n \Leftrightarrow m^p (m^{q-p}-1) \vdots n[/TEX] mà [TEX](m,n)=1[/TEX] nên ta có : [TEX]m^{q-p}-1 \vdots n [/TEX]

duynhana1 làm đúng rồi lúc đầu mình cũng hơi khó hiểu , ai cũng giống như mình thì xem cái này nhá
xét dãy gồm [TEX]10^5[/TEX] số [TEX]1983, 1983^2, ..., 1983^{10}^5[/TEX]
đem các số của dãy chia cho [TEX]10^5[/TEX] có [TEX]10^5-1[/TEX] số dư
theo nguyên tắc Đi-rich-lê tồn tại hai phép chia cùng số dư

g/s [TEX]1983^i\equiv 1983^j\pmod{10^5} (i,j \in \ N*,j<i\leq 10^5[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 1983^j(1983^{i-j}-1) \vdots 10^5[/TEX]
mà [TEX](1983^j,10^5)=1[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 1983^{i-j}-1 \vdots 10^5[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \exists \ k=i-j[/TEX] thoả mãn đề bài

 

[kimoanh10a4]

mình không học chuyên sâu về Đi-rich-le nhưng mình đã đọc nhiều bài về dạng này, mình muốn tìm hiểu thêm về dạng này, bạn cho mình biết cuốn sách nào có viết chuyên sâu về định lý này không, mình rất muốn tìm hiểu, thanks bạn nhiều^^ :-*

 

[daodung28]

mình không học chuyên sâu về Đi-rich-le nhưng mình đã đọc nhiều bài về dạng này, mình muốn tìm hiểu thêm về dạng này, bạn cho mình biết cuốn sách nào có viết chuyên sâu về định lý này không, mình rất muốn tìm hiểu, thanks bạn nhiều^^ :-*

mình cũng ko biết cuốn sách nào nói về điều này nhưng mình cũng từng đọc những bài lẻ tẻ, thầy giáo cũng dạy một chút nên mình sẽ cố gắng post nhiều bài hơn lên cho nhá

 

[daodung28]

sau đây là một số bài luyện tập chủ yếu dựa vào những bài trên
5.cmr [TEX]\exists n\in \ N* : 3^n[/TEX] có tận cùng là 001
6.cmr luôn tìm được số có 4 chữ số tận cùng là 1992 và chia hết cho 1991
7. cho 51 số tự nhiên phân biệt [TEX]a_1\rightarrow a_{50}\leq 100[/TEX]
cmr luôn tìm được 2 số có hiệu = 50
8. cho 2002 số tự nhiên khác 0 sao cho 4 số bất kì trong chúng luôn tạo thành 1 tỉ lệ thức.cmr 4 số đã cho tồn tại its nhất 501 số = nhau

 

[girltoanpro1995]

Địh lí đi dép lê này mìh lập 1 pic hìh như cũng lâu oy` những k sôi nổi .
http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=118724
Bạn coi mấy bài ở đây nè. Chừng nào vào yh mìh gửi mấy cái mìh có cho nha

 

[duynhana1]

Có 17 nhà khoa học trao đổi đôi một với nhau về 3 chủ đề khoa học. Chứng minh có ít nhất 3 nhà khoa học cùng trao đổi với nhau cùng 1 chủ đề.

 

[hoa_giot_tuyet]

Có 17 nhà khoa học trao đổi đôi một với nhau về 3 chủ đề khoa học. Chứng minh có ít nhất 3 nhà khoa học cùng trao đổi với nhau cùng 1 chủ đề.

Em ko hỉu cái đề lém có ai vào giải cái. À quên ko spam, góp một bài )
Chứng minh rằng mọi số nguyên tố p ta có thể tìm được một số được viết bởi hai chữ số chia hết cho p.

 

[girltoanpro1995]

Bốn người 1; 2; 3; 4 tham dự một hội nghị. Biết rằng :
a. Mỗi người chỉ biết hai trong bốn thứ tiếng Anh, Nga, Pháp, Việt.
b. Người 1 biết tiếng Nga, không biết tiếng Pháp.
c. Người 2 biết tiếng Anh, không biết tiếng Pháp và phải phiên dịch cho người 1 và người 3.
d. Người 4 không biết tiếng Nga, không biết tiếng Việt nhưng nói chuyện trực tiếp được với người 1.
Hỏi mỗi người biết các thứ tiếng nào ?

 

[Kuroko - chan]

Có 17 nhà khoa học trao đổi đôi một với nhau về 3 chủ đề khoa học. Chứng minh có ít nhất 3 nhà khoa học cùng trao đổi với nhau cùng 1 chủ đề.

Theo định lý , ta có :
[TEX]\left [\frac{n}{k} \right] [/TEX]+1
n là nhà khoa học
k là số chủ đề
=> ta có :
Số nhà khoa học cùng trao đổi trong 3 đề tài là:[TEX]\left [\frac{17}{3} \right] [/TEX]+1 = 7
=> số nhà khoa học cùng trai đổi chung 1 đề tài là :[TEX]\left [\frac{7}{3} \right] [/TEX]+1 = 3
vậy có ít nhất 3 nhà khoa học cùng trao đổi với nhau cùng 1 chủ đề.