Toán [Topic học thuật] Hình học lớp 9(Ôn luyện kiến thức)

[Nguyễn Xuân Hiếu]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

HÌNH HỌC LỚP 9(Ôn luyện kiến thức)​

​

I)Lời mở đầu:
”Giữa những bộ óc thông minh ngang nhau và trong những điều kiện tương tự, ai có trí tưởng tượng hình học tốt hơn thì người đó sẽ thắng và thu được một cường lực hoàn toàn mới mẻ.”
--Blaise Pascal-
-Hình học là thi ca của logic và tư duy. Nó có một tầm quan trọng trong việc phát triển khả năng toán học. Và trong đề thi nó cũng chiếm một phần điểm không nhỏ. Chính vì những lí do trên mà hôm nay, mình thay mặt BQT box Toán mở ra topic ôn luyện toán THCS(tập trung vào lớp 9) để các bạn có thể ôn luyện+tiếp nhận bổ sung vùng kiến thức cho mình để nghiên cứu, hay phục vụ cho những kì thi trong năm học. Mong các bạn có thể ủng hộ topic.
-Để cho các bạn có một ít động lực thì mỗi bài toán sẽ có những mức độ (Dễ, Trung Bình, Khó) và mỗi mức độ thì sẽ được cộng một số điểm nhất định (Dễ: +1 điểm,Trung Bình:+2 điểm, Khó:+3 điểm). Sau một học kì thì mình sẽ tổng hợp lại và sẽ trao thưởng cho các thành viên top 3(Top 1:Sách+HM coin,Top 2,3:HM coin) (Thể loại sách thì chắc chắn các bạn không thất vọng đâu nhé Mình sẽ trích một ít quỹ đen của mình để làm phần thưởng).

​

II)Quy định topic:
+Ôn luyện theo chuyên đề.
+ Mỗi bài toán đều được đánh số thứ tự+mức độ
+Yêu cầu người giải thì phải có hình kèm theo(Có thể sử dụng các phần mền online như GPS,geogebra,.... hoặc trực tiếp vẽ trên giấy nhưng phải rõ ràng)
+Đang trong chủ đề nào chỉ được hỏi bài tập hoặc những kiến thức về chủ đề đó(Nếu muốn hỏi bài tập về các chủ đề khác thì đăng riêng ra ngoài)
+Tuyệt đối cấm spam, sử dụng những từ ngữ phù hợp với văn hóa.
+Khuyến khích gõ công thức Latex để có thẩm mỹ hoặc chụp bài trên giấy (Cố gắng trình bày sạch sẽ nếu bị lỗi gì thì ibox mình, mình sẽ sửa lại cho nhé )
+Lời giải không cần chi tiết quá những cũng đủ để hiểu ngầm.(Một bài sẽ có nhiều cách giải nếu thấy bài đã giải mà bạn có cách khác thì cứ việc vào comment)
+Mọi thắc mắc trong quá trình làm bài tập+kiến thức thì không trả lời vào topic này mà hỏi vào topic:
Chúng ta bắt đầu nào!! Let's go!!

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Chuyên đề 1: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

I)Các hệ thức cơ bản:
Các bài toán liên quan tới đường cao hoặc các cạnh trong tam giác vuông

Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$($H \in AC$). Khi đó ta có các hệ thức sau:
1)$a^2=b^2+c^2$
2)$b^2=a.b',c^2=a.c'$
3)$a.h=b.c$
4)$h^2=b'.c'$
5)$\dfrac{1}{h^2}=\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}$
6)$\dfrac{b'}{a}=\dfrac{b^2}{a^2}$
Việc chứng minh các công thức trên khá đơn giản chỉ việc sử dụng các tam giác đồng dạng nên mình sẽ không đi chứng minh lại. Chúng ta cùng đi vào các ví dụ:

Spoiler: Ví dụ 1

Cho hình vẽ. tính giá trị $x,y$(đvđd)

Spoiler: Hướng dẫn giải ví dụ 1

Dễ dàng tính được $AC^2=AB^2+BC^2=3^2+4^2=25 \Rightarrow AC=5$
Mặt khác áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
$AB^2=AD.AC=x.5 \Rightarrow 9=x.5 \Rightarrow x=\dfrac{9}{5}$
Từ đó $\Rightarrow y=5-\dfrac{9}{5}=\dfrac{16}{5}$

Spoiler: Ví dụ 2

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ đường cao $AH$. Biết rằng: $\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{3}{4}$ và $AB+AC=21(cm)$.
a) Tính các cạnh của $\triangle ABC$.
b) Tính độ dài các đoạn $AH,BH,CH$

Spoiler: Hướng dẫn giải ví dụ 2

a) Ta có: $\dfrac{AB}{3}=\dfrac{AC}{4}=\dfrac{AB+AC}{7}=3 \\\Rightarrow AB=9,AC=12$
Áp dụng pytago dễ dàng tính được $BC=15$
Do đó: $AB=9$(cm),$AC=12$(cm),$BC=15$(cm)
b)Áp dụng hệ thức lượng ta có:
$AH.BC=AB.AC$, do đó: $AH=\dfrac{AB.AC}{AH}=7,2$(cm)
$AH^2=BH.HC$. Đặt $BH=x$($0<x<9)$ thì $HC=15-x$, ta có:
$(7,2)^2=x(15-x) \Rightarrow x^2-15x+51,84=0 \\\Rightarrow (x-5,4)(x-9,6)=0$
Do đó $x=5,4$(nhận) hoặc $x=9,6$(loại)

Spoiler: Ví dụ 3

Tính diện tích hình thang $ABCD$ có đường cao bằng $12$(cm), hai đường chéo $AC$ và $BD$ vuông góc với nhau, $BD=15$(cm).

Spoiler: Hướng dẫn giải ví dụ 3

Phân tích: Ta có cạnh $BD$, có cạnh $BH$ và đã có: $BH \perp CD$ nên nghĩ ngay tới hệ thức lượng trong tam giác vuông. Cần cái gì đó liên quan giữa cái cạnh $BD$, đường cao $BH$. Từ ý nghĩ đó nếu dựng đường thẳng song song với $AC$ thì sẽ tạo thành tam giác vuông có đường cao là $AH$.
Lời giải:
[
Qua $B$ kẻ đường thẳng song song với $AC$ cắt $CD$ tại $E$ và $BH$ là đường cao.
Do $BE//AC,AC \perp BD \Rightarrow BE \perp BD$.
Áp dụng pytago ta có: $BH^2+HD^2=BD^2 \\\Rightarrow HD^2=15^2-12^2 \\\Rightarrow HD=9(cm)$
Xét tam giác $BDE$ vuông tại $B$:
$BD^2=DE.DH \\\Rightarrow DE=\dfrac{BD^2}{DH}=\dfrac{225}{9}=25(cm)$
Do $AB=CE$ nên: $AB+CD=CE+CD=DE=25(cm)$
$S_{ABCD}=\dfrac{25.12}{2}=150(cm^2)$

Spoiler: Ví dụ 4

Ví dụ 4: Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ với hai đường cao $AH$ và $BK$. Chứng minh rằng:
$\dfrac{1}{BK^2}=\dfrac{1}{BC^2}+\dfrac{1}{4AH^2}$

Spoiler: Hướng dẫn giải ví dụ 4

Phân tích: Tương tự như bài trước cái $\dfrac{1}{BC^2},\dfrac{1}{BK^2}$ giúp ta liên tưởng tới hệ thức giữa 2 cạnh góc vuông và đường cao nên việc dựng đường vuông góc với $BC$ tại B và cắt cạnh $AC$ là điều hợp lý.
Lời giải:
Đường thẳng vuông góc với $BC$ tại $B$ cắt $AC$ tại $D$.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác $DBC$ có $BK$ là đường cao nên:
$\dfrac{1}{BK^2}=\dfrac{1}{BD^2}+\dfrac{1}{BC^2}$
Điều phải chứng minh bây giờ là:
$\dfrac{1}{BD^2}=\dfrac{1}{4AH^2}$ hay $BD=2AH$
Điều này đúng do $H$ là trung điểm $BC$ và $AH \perp BD$ nên áp dụng t/c đường trung bình ta sẽ có: $BD=2AH$.

P/s: Chắc hẳn qua lý thuyết+4 ví dụ các bạn hiểu phần nào về các hệ thức trong tam giác vuông. Sau đây là một số bài tập tự luyện để các bạn rèn luyện thêm:

Spoiler: Bài tập tự luyện

Bài tập 1: (Dễ) Hãy tính $BH$ ớ ví dụ $2$ theo cách khác.
Bài tập 2: (Dễ) Cho tam giác $DEF$ vuông tại $D$ có $DF=x$. $M,N$ lần lượt là trung điểm của $EF,ED$. Tính độ dài $DE,EF$ theo $x$ biết rằng: $DM \perp NF$
Bài tập 3: (Dễ) Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ đường cao $AH$ có độ dài $10$(cm), đường cao $BK$($K \in AC$) dài $4$(cm). Tính $BC$.
Bài tập 4: (Dễ) Cho tam giác KMN có $\widehat{KMN}=120^0$. Chứng minh rằng: $KN^2=KM^2+MN^2+KM.MN$
Bài tập 5: (Dễ) Cho tam giác $ABC$ có $AB=6(cm),AC=8(cm)$, các đường trung tuyến $BD$ và $CE$ vuông góc với nhau. Tính $BC$.
Bài tập 6: (Trung Bình) Cho tam giác $ABC$($\widehat{BAC}=90^0$) có đường cao $AH$. Kẻ $HM,HN$ vuông góc lần lượt với $AB,AC$. Tìm giá trị lớn nhất của $MN$ và $S_{AMHN}$.
Bài tập 7: (Trung Bình) Cho tam giác $ABC$ nhọn, đường cao $AD$($D \in BC$), $E$ là trực tâm của tam giác. $F$ di chuyển trên $AD$ sao cho $\widehat{BFC}=90^0$. Chứng minh rằng:$S_{BFC}=\sqrt{S_{BAC}.S_{BEC}}$
Bài tập 8: (Khó) Cho tam giác $ABC$ chứng minh rằng:
$(AB^2+AC^2+BC^2)^2 \geq 48S_{ABC}^2$

 

[huyenlinh7ctqp]

Bóc tem cho anh à nha :v
Bài 1 :
Áp dụng hệ thức lượng giác ta có :
$AB^2=BH(BH+CH)=BH.BC$
Suy ra $81=BH.15 -> BH=5,4$
Bài 3 :
Em k vẽ hình nhé ^^
Áp dụng hệ thức lượng giác ta có :
$AH.BC=BK.AC$
$10BC=4AC -> 2,5BC=AC$
Ta có : $AC^2-AH^2=\frac{1}{4}BC^2$
Thay $2,5BC=AC$ ta được : $\frac{25}{4}BC^2-100=\frac{1}{4}BC^2$
-> $6BC^2=100 -> BC$

 

[Lưu Thị Thu Kiều]

Em làm bài 2 dễ trước ^^
Bài 2:
Gọi $O$ là giao điểm của $DM$ và $NF$
$\to O$ là trọng tâm $\triangle DEF$
$\to OF =\frac{2}{3} NF$
Áp dụng hệ thức lượng giác ta có :
$DF^{2}=OF.NF=\frac{2}{3} NF^{2} \\ \to x^{2}=\frac{2}{3} NF^{2} \\ \to NF=\sqrt{x^{2}:\frac{2}{3}}=\sqrt{\frac{3x^{2}}{2}} $
$\to DN=...$( Áp dụng định lí pytago trong $DNF$)
$\to DE=2DN=...$
Áp dụng định lí pytago trong $DEF$
$\to EF=...$

 

[Quân Nguyễn 209]

E không vẽ hình bác ơi ._.
Bài 6
* Gọi [TEX]O[/TEX] là trung điểm [TEX]BC [/TEX]
Ta có: [TEX]DE=AH \leq AO [/TEX]
Dấu bằng xảy ra [TEX]<=>[/TEX] Tam giác [TEX]ABC[/TEX] vuông cân tại [TEX]A[/TEX]

* [TEX]S_{AEHD}=AE.AD=\frac{AH^2}{AB}.\frac{AH^2}{AC}=\frac{AH^4}{AB.AC}=\frac{AH^3}{BC} \leq \frac{AO^3}{BC}=2AO^2[/TEX]
Dấu bằng xảy ra [TEX]<=>[/TEX] Tam giác [TEX]ABC[/TEX] vuông cân tại [TEX]A[/TEX]
Bài 7
Ta dễ dàng chứng minh được tam giác [TEX]BED[/TEX] đồng dạng với tam giác [TEX]ACD[/TEX] [TEX](gg)[/TEX]
[TEX]=> \frac{BD}{AD}=\frac{ED}{CD}[/TEX]
[TEX]=> BD.CD=AD.ED[/TEX]
[TEX]=> FD^2=AD.ED[/TEX]
[TEX]=> \frac{FD^2}{4BC^2}=\frac{AD.ED}{4BC^2}[/TEX]
[TEX]=> S_{BFC}^2=S_{ABC}.S_{BEC}[/TEX]
[TEX]=>[/TEX] [TEX]S_{BFC}=\sqrt{S_{ABC}.S_{BEC}}[/TEX]

 

[candyiukeo2606]

Bài 1:

(Em mượn hình nhé)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:
[TEX]AB^2 = BH.BC[/TEX]
=> [TEX]BH = \frac{AB^2}{BC}[/TEX] = [TEX]\frac{81}{15} = 5,4 cm[/TEX]
Bài 2:
(Hình vẽ không được chính xác cho lắm)

Vì [tex]\widehat{NMD} = \widehat{MDF} (= 90^o - \widehat{NDM})[/tex]
=> [tex]\Delta NMD \sim \Delta DNF[/tex]
=> [TEX]\frac{NM}{ND} = \frac{ND}{NF}[/TEX]
=> [TEX]ND^2 = NM.DF[/TEX]
Mà [TEX]NM = \frac{1}{2}DF[/TEX] (đường trung bình)
=> [TEX]ND^2 = \frac{1}{2}DF^2[/TEX]
=> [TEX]ND = \frac{1}{\sqrt{2}}DF[/TEX]
=> [TEX]DE = \frac{2}{\sqrt{2}}DF = \sqrt{2}x[/TEX]
=> [tex]EF = \sqrt{x^2 + 2x^2} = \sqrt{3}x[/tex]
Bài 4:
(1 lần nữa hình lại không chính xác cho lắm :v)

Từ K kẻ vuông góc với MN và cắt MN tại H
=> [TEX]KN^2 = KH^2 + HN^2[/TEX]
[TEX] = (KM^2 - HM^2) + (HM + MN)^2[/TEX]
[TEX] = KM^2 - HM^2 + HM^2 + MN^2 + 2HM.MN[/TEX]
[TEX] = KM^2 + MN^2 + 2HM.MN[/TEX]
Mà [TEX]\widehat{KMN} = 120^o[/TEX] => [TEX]\widehat{KMH} = 60^o[/TEX] => [TEX]HM = \frac{1}{2}KM[/TEX]
=> [TEX]KN^2 = KM^2 + MN^2 + KM.MN[/TEX] (đpcm)
Bài 5:

Gọi F là giao của BD và CE
=> [TEX]FE^2 + FB^2 = BE^2 = 9 cm[/TEX]
[TEX]FD^2 + FC^2 = CD^2 = 16cm[/TEX]
=> [TEX]FE^2 + FB^2 + FC^2 + FD^2 = 25cm[/TEX]
Mà [TEX]BF^2 + CF^2 = BC^2[/TEX]
[TEX]EF^2 + DF^2 = DE^2[/TEX]
=> [TEX]BC^2 + DE^2 = 25cm[/TEX]
Mà DE = [TEX]\frac{1}{2}BC[/TEX]
=> [TEX]BC^2 + \frac{1}{4}BC^2 = 25cm[/TEX]
<=> [TEX]\frac{5}{4}BC^2 = 25[/TEX]
=> [tex]\frac{\sqrt{5}}{2}BC = 5 cm[/tex]
=> [TEX]BC = 2\sqrt{5}cm[/TEX]

 

[Quân Nguyễn 209]

@Nguyễn Xuân Hiếu E có cái tài liệu nói về cách giải bài toán điểm và đường cố định nhưng lại dính đến phần đường tròn ._. Chừng nào tới phần ấy rồi bác nói e để e up nhé :v
P/s: bác xóa cái post này giùm e vs :v

 

[Quân Nguyễn 209]

Hix khó nhai quá ._.

Bài 8
Đặt [TEX]AB=a,BC=b,AC=c[/TEX] ta cmđ hai bổ đề sau :
* [TEX]S_{ABC}^2=p(p-a)(p-b)(p-c)[/TEX] (công thức [TEX]Heron[/TEX]) (1)
* [TEX](a+b-c)(a+c-b)(b+c-a) \leq abc[/TEX] (2)
Ta có :
[tex]a^2+b^2+c^2 \geq \frac{(a+b+c)^2}{3} \geq 3(a+b+c)abc[/tex] (AM-GM) (3)
[tex](2)(3)=> a^2+b^2+c^2 \geq 3(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a) [/tex](4)
[tex] (1)(4)=> ... => (AB^2+AC^2+BC^2)^2 \geq S_{ABC}^2[/tex]