T
trangle986
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
BẤT ĐĂNG THỨC SCHUR VÀ PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN P,Q,R
Như các bạn đã biết bất đăng thức schur là một bất đăng thức mạnh và có nhiều ưng dụng tuy nhiên nó vãn còn khá xa lạ với các bạn THCS và BẤT ĐẲNG THỨC SCHUR VÀ PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN P,Q,R
1,bất đẳng thức schur
Với các số thực dương a,b,c và k∈R+ bất kì ta luôn có
a^k(a−b)(a−c)+b^k(b−c)(b−a)+c^k(c−a)(c�� �b)≥0
Hai trường hợp quen thuộc được sử dụng nhiều là k=1 và k=2:
a(a−b)(a−c)+b(b−c)(b−a)+c(c−a)(c−b)≥ 0(i)
a^2(a−b)(a−c)+b^2(b−c)(b−a)+c^2(c−a)(c�� �b)≥0(ii)
II-PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN P,Q,R:
Đối với một số bài bất đẳng thức thuần nhất đối xứng có các biến không âm thì ta có thể đổi biến lại như sau:
Đặt p=a+b+c,q=ab+bc+ca,r=abc
Ta có một số đẳng thức sau:
.ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)=pq−3r
.(a+b)(b+c)(c+a)=pq−r
.ab(a^2+b^2)+bc(b^2+c^2)+ca(c^2+a^2)=p^2q−2q^2�� �pr
.(a+b)(a+c)+(b+c)(b+a)+(c+a)(c+b)=p^2+q
.a^2+b^2+c^2=p^2−2q
.a^3+b^3+c^3=p^3−3pq+3r
.a^4+b^4+c^4=p^4−4p^2q+2q^2+4pr
.a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=q^2−2pr
.a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3=q^3−3pqr+3r^2
.a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4=q^4−4pq^2r+2p^2r^2+4qr^2
Có thể thấy ngay lợi ích của phương pháp này là mối ràng buộc giữa các biến p,q,r mà các biến a,b,c ban đầu không có như:
.p^2≥3q
.p^3≥27r
.q^2≥3pr
.pq≥9r
.2p^3+9r≥7pq
.p^2q+3pr≥4q^2
.p^4+4q^2+6pr≥5p^2q
Những kết quả trên đây chắc chắn là chưa đủ,các bạn có thể phát triển thêm nhiều đẳng thức,bất đẳng thức liên hệ giữa 3 biến p,q,r.Và điều quan trọng mà tôi muốn nói đến là từ bất đẳng thức (i) và (ii),ta có:
r≥p(4q−p^2)/9 (từ (i))
r≥(4q−p^2)(p^2−q)/6p (từ (ii))
Tuy nhiên trong một số trường hợp thì có thể các đại lượng 4q−p2 có thể nhận giá trị âm lẫn giá trị dương nên ta thường sử dụng
.r≥max(0,p(4q−p^2)/4)
.r≥max(0,(4q−p^2)(p^2−q)/6p)
Một số bài tậ
BÀI 1: CHO CÁC SỐ KHÔNG ÂM A,B,C CHỨNG MINH RẰNG:12+9ABC7(AB+BC+CA)
BÀI 2;
CHO CÁC SỐ KHÔNG ÂM A,B,C THỎA MÃN ABC=1 CHỨNG MINH RẰNG:
\frac{1}{A^2-A+1}+\frac{1}{B^2-B+1}+\frac{1}{C^2-C+1}3
BÀI
CHO CÁC SỐ THỰC A,B,C THỎA MÃN C^2+ B^2 +A^2 =9 CHỨNG MINH RẰNG
2(A+B+C)-ABC10
BÀI 4:cho các số thực dương thỏa mãn abc=1 cmr: 2( C^2+ B^2 + A^2)+123(a+b+c)+3(ab+bc+ca)
BÀI 5:Cho các số thực dương thỏa mãn ab+bc+ca+6abc=9 CM:CM: a+b+c+3ab
BÀI6:CHO các số thưc dương a,b,c thoả man a+b+C=3 chưng minh rằnG
9abc+1>=4(ab+bc+ca)
bài 7:cho các số a,b,c thuộc [0,1] cmr: a(1-b)+b(1-c)+c(1-a)<=1
bài 8:cho các số thực dương a,b,c thoả mãn ab+bc+ca=1 tim min của P=40a^2+27b^2+14c^2
MONG CÁC BẠN ỦNG HỘ
Như các bạn đã biết bất đăng thức schur là một bất đăng thức mạnh và có nhiều ưng dụng tuy nhiên nó vãn còn khá xa lạ với các bạn THCS và BẤT ĐẲNG THỨC SCHUR VÀ PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN P,Q,R
1,bất đẳng thức schur
Với các số thực dương a,b,c và k∈R+ bất kì ta luôn có
a^k(a−b)(a−c)+b^k(b−c)(b−a)+c^k(c−a)(c�� �b)≥0
Hai trường hợp quen thuộc được sử dụng nhiều là k=1 và k=2:
a(a−b)(a−c)+b(b−c)(b−a)+c(c−a)(c−b)≥ 0(i)
a^2(a−b)(a−c)+b^2(b−c)(b−a)+c^2(c−a)(c�� �b)≥0(ii)
II-PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN P,Q,R:
Đối với một số bài bất đẳng thức thuần nhất đối xứng có các biến không âm thì ta có thể đổi biến lại như sau:
Đặt p=a+b+c,q=ab+bc+ca,r=abc
Ta có một số đẳng thức sau:
.ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)=pq−3r
.(a+b)(b+c)(c+a)=pq−r
.ab(a^2+b^2)+bc(b^2+c^2)+ca(c^2+a^2)=p^2q−2q^2�� �pr
.(a+b)(a+c)+(b+c)(b+a)+(c+a)(c+b)=p^2+q
.a^2+b^2+c^2=p^2−2q
.a^3+b^3+c^3=p^3−3pq+3r
.a^4+b^4+c^4=p^4−4p^2q+2q^2+4pr
.a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=q^2−2pr
.a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3=q^3−3pqr+3r^2
.a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4=q^4−4pq^2r+2p^2r^2+4qr^2
Có thể thấy ngay lợi ích của phương pháp này là mối ràng buộc giữa các biến p,q,r mà các biến a,b,c ban đầu không có như:
.p^2≥3q
.p^3≥27r
.q^2≥3pr
.pq≥9r
.2p^3+9r≥7pq
.p^2q+3pr≥4q^2
.p^4+4q^2+6pr≥5p^2q
Những kết quả trên đây chắc chắn là chưa đủ,các bạn có thể phát triển thêm nhiều đẳng thức,bất đẳng thức liên hệ giữa 3 biến p,q,r.Và điều quan trọng mà tôi muốn nói đến là từ bất đẳng thức (i) và (ii),ta có:
r≥p(4q−p^2)/9 (từ (i))
r≥(4q−p^2)(p^2−q)/6p (từ (ii))
Tuy nhiên trong một số trường hợp thì có thể các đại lượng 4q−p2 có thể nhận giá trị âm lẫn giá trị dương nên ta thường sử dụng
.r≥max(0,p(4q−p^2)/4)
.r≥max(0,(4q−p^2)(p^2−q)/6p)
Một số bài tậ
BÀI 1: CHO CÁC SỐ KHÔNG ÂM A,B,C CHỨNG MINH RẰNG:12+9ABC7(AB+BC+CA)
BÀI 2;
CHO CÁC SỐ KHÔNG ÂM A,B,C THỎA MÃN ABC=1 CHỨNG MINH RẰNG:
\frac{1}{A^2-A+1}+\frac{1}{B^2-B+1}+\frac{1}{C^2-C+1}3
BÀI
CHO CÁC SỐ THỰC A,B,C THỎA MÃN C^2+ B^2 +A^2 =9 CHỨNG MINH RẰNG
2(A+B+C)-ABC10
BÀI 4:cho các số thực dương thỏa mãn abc=1 cmr: 2( C^2+ B^2 + A^2)+123(a+b+c)+3(ab+bc+ca)
BÀI 5:Cho các số thực dương thỏa mãn ab+bc+ca+6abc=9 CM:CM: a+b+c+3ab
BÀI6:CHO các số thưc dương a,b,c thoả man a+b+C=3 chưng minh rằnG
9abc+1>=4(ab+bc+ca)
bài 7:cho các số a,b,c thuộc [0,1] cmr: a(1-b)+b(1-c)+c(1-a)<=1
bài 8:cho các số thực dương a,b,c thoả mãn ab+bc+ca=1 tim min của P=40a^2+27b^2+14c^2
MONG CÁC BẠN ỦNG HỘ