Topic: Bất Đẳng Thức LTDH 2009

P

pmv

Ta có:[TEX]\frac{a+b}{\sqrt{c}}+\frac{b+c}{\sqrt{a}}+\frac{c+a}{\sqrt{b}}={a+b+c}{\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}-{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}[/TEX](1)
Mặt khác:
[TEX]a+b+c \geq \frac{{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}^2}{3}[/TEX]

[TEX]\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+ \frac{1}{ \sqrt{c} } \geq \frac{9}{{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}}[/TEX]

Vậy: [TEX]\frac{a+b}{\sqrt{c}}+\frac{b+c}{\sqrt{a}}+\frac{c+a}{\sqrt{b}} \geq 2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}) \geq \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3 [/TEX]
 
Last edited by a moderator:
Q

quocbao153

Cho [tex]a,b,c>0[/tex]
[tex]\sum\limits_{cyclic} {\sqrt {{a^4} + {a^2}{b^2} + {b^4}} \ge } \sum\limits_{cyclic} {a\sqrt {2{a^2} + bc}[/tex]
 
L

lovebrit

tớ cũng có bđt
cho x,y,z>0 1/x+1/y+1/z=1/4
cmr 1/(2x+y+z) +1/(2y+z+x) +1/(2z+x+y)<1
ai làm thì dô
 
S

study_more_91

quocbao153 said:
Cho [tex]a,b,c>0[/tex]
[tex]\sum\limits_{cyclic} {\sqrt {{a^4} + {a^2}{b^2} + {b^4}} \ge } \sum\limits_{cyclic} {a\sqrt {2{a^2} + bc}[/tex]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

[TEX]\sqrt{a^4+a^2b^2+b^4} \geq \frac{\sqrt{3}}{2}(a^2+b^2)\Rightarrow \sum \sqrt{a^4+a^2b^2+b^4} \geq \sqrt{3}(a^2+b^2+c^2)[/TEX]
mặt khác
[TEX]\sum a.\sqrt{2a^2+bc}=\sum \frac{1}{\sqrt{3}}.(\sqrt{3}a)\sqrt{2a^2+bc} \leq \frac{1}{\sqrt{3}} \sum \frac{5a^2+bc}{2}=\frac{1}{\sqrt{3}} [\frac{5}{2}(a^2+b^2+c^2)+\frac{1}{2}(ab+bc+ca)] \leq \frac{1}{\sqrt{3}} .3(a^2+b^2+c^2) =\sqrt{3}(a^2+b^2+c^2)[/TEX]
nên ta có điều phải chứng minh .
 
V

vodichhocmai

on thi đại học.
[TEX]Cho \ \ x,y>0\ \ CMR: \ \ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge 5\(\frac{1}{3x+2y}+\frac{1}{2x+3y}\)[/TEX]
 
Last edited by a moderator:
N

ngoctu_a12

1:(3x+2y) =<1:25nhan voi(3:x+2:y)
1:(3y+2x)=<1:25 nhan voi(3:y+2:x)
cộng lại ta đc đièu phải chững minh
 
T

tiendung2992

Ta cúa :
[TEX]\frac{25}{3x + 2y}\leq\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}[/TEX]
[TEX]\frac{25}{2x + 3y}\leq\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}[/TEX]

Cộng lại rồi nhân chia lung tung ta sẽ ra !
 
V

vodichhocmai

tiendung2992 said:
Ta cúa :
[TEX]\frac{25}{3x + 2y}\leq\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}[/TEX]
[TEX]\frac{25}{2x + 3y}\leq\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}[/TEX]
Cộng lại rồi nhân chia lung tung ta sẽ ra !
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Giả sử trong giới hạn không dùng [TEX]Svacxo[/TEX] thì ta phải ??????? làm sao nhỉ :D
 
T

tiendung2992

Vâng , anh có cao kiến gì xin chỉ giáo ạ ! Em cũng quê TH , quen anh Quang đây :D
 
L

lamhongquanghp

em cũng có 1 bài
cho các số a,b,c dương thoả mãn ab+bc+ca=abc
CRM: [tex] \frac {a^4 + b^4}{ab(a^3 + b^3 )} + \frac {b^4 + c^4}{bc(b^3 + c^3)} + \frac {a^4 + c^4}{ac(c^3 + a^3)} \geq 1 [/tex]
 
Last edited by a moderator:
L

lamhongquanghp

1 bài nữa

cho các số dương a,b,c. CMR
[tex] \frac {(1+a^2b)(1+b^2)}{(a^2-a+1)(1+b^3)} \leq 2 [/tex]
 
S

study_more_91

lamhongquanghp said:
em cũng có 1 bài
cho các số a,b,c dương thoả mãn ab+bc+ca=abc
CRM: [tex] \frac {a^4 + b^4}{ab(a^3 + b^3 )} + \frac {b^4 + c^4}{bc(b^3 + c^3)} + \frac {a^4 + c^4}{ac(c^3 + a^3)} \geq 1 [/tex]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
[TEX]\frac{a^4+b^4}{ab(a^3+b^3)} \geq \frac{1}{2}[\frac{1}{a}+\frac{1}{b}](*)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{a^4+b^4}{ab(a^3+b^3)} \geq \frac{a+b}{2ab}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 2(a^4+b^4) \geq (a+b)(a^3+b^3)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow a^4+b^4 \geq ab^3+a^3b[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (a-b)^2(a^2+ab+b^2) \geq 0 [/TEX]
ĐÚNG
vậy [TEX](*) [/TEX]đúng
làm 2 bdt tương tự rồi cộng lại ta được
[TEX]\frac {a^4 + b^4}{ab(a^3 + b^3 )} + \frac {b^4 + c^4}{bc(b^3 + c^3)} + \frac {a^4 + c^4}{ac(c^3 + a^3)} \geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1[/TEX]
Have done ! :)
 
S

study_more_91

lamhongquanghp said:
cho các số dương a,b,c. CMR
[tex] \frac {(1+a^2b)(1+b^2)}{(a^2-a+1)(1+b^3)} \leq 2 [/tex]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Chém gọn bài này = BDT Holder
[TEX]bdt \Leftrightarrow 2(a^2-a+1)(b^3+1) \geq (1+a^2b)(1+b^2)\Leftrightarrow 2(a^3+1)(b^3+1) \geq (a+1)(b^2+1)(a^2b+1)(*)[/TEX]
theo BDT Holer thì
[TEX](a^3+1)(1+1)(1+1) \geq (a+1)^3[/TEX]
[TEX](b^3+1)(b^3+1)(1+1) \geq (b^2+1)^3[/TEX]
[TEX](a^3+1)(a^3+1)(b^3+1) \geq (a^2b+1)^3[/TEX]
nhân lại rồi rút gọn thu được [TEX](*)[/TEX]
Kết thúc chứng minh!:)





P/s: nếu ai bắt bẻ thi đại học ko dùng Holder
thì sẽ chứng minh riêng bdt phụ
[TEX](x^3+1)(y^3+1)(z^3+1) \geq (xyz+1)^3(**)[/TEX]
theo cách như sau
[TEX](1+x^3)(1+y^3) \geq ...(1)[/TEX]
[TEX](1+z^3)(1+xyz) \geq ...(2)[/TEX]
làm 1 " nháy" Svacs với [TEX](1),(2)[/TEX] nữa rồi nhân 3 bdt lại rút gọn ta thu được [TEX](**)[/TEX]
 
L

lamhongquanghp

study_more_91 said:
Chém gọn bài này = BDT Holder
[TEX]bdt \Leftrightarrow 2(a^2-a+1)(b^3+1) \geq (1+a^2b)(1+b^2)\Leftrightarrow 2(a^3+1)(b^3+1) \geq (a+1)(b^2+1)(a^2b+1)(*)[/TEX]
theo BDT Holer thì
[TEX](a^3+1)(1+1)(1+1) \geq (a+1)^3[/TEX]
[TEX](b^3+1)(b^3+1)(1+1) \geq (b^2+1)^3[/TEX]
[TEX](a^3+1)(a^3+1)(b^3+1) \geq (a^2b+1)^3[/TEX]
nhân lại rồi rút gọn thu được [TEX](*)[/TEX]
Kết thúc chứng minh!:)





P/s: nếu ai bắt bẻ thi đại học ko dùng Holder
thì sẽ chứng minh riêng bdt phụ
[TEX](x^3+1)(y^3+1)(z^3+1) \geq (xyz+1)^3(**)[/TEX]
theo cách như sau
[TEX](1+x^3)(1+y^3) \geq ...(1)[/TEX]
[TEX](1+z^3)(1+xyz) \geq ...(2)[/TEX]
làm 1 " nháy" Svacs với [TEX](1),(2)[/TEX] nữa rồi nhân 3 bdt lại rút gọn ta thu được [TEX](**)[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

nếu không dùng cả holder và Svacs thì sao:D, 2 bất đẳng thức này trong SGK không có thì đi thi ĐH chưa chắc đã được dùng
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom