Toán 12 Tổng quan về cực trị hàm số

[Timeless time]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chào các bạn, ở bài này mình sẽ đưa ra định nghĩa và cách làm chung về bài toán cực trị và mình sẽ đi sâu hơn vào từng dạng ở những bài tiếp theo( mình gõ tay lên có thể có sai sót, nếu có các bạn sửa giúp mình nhé)
1. ĐỊNH NGHĨA
- Định nghĩa 1 : [tex]D=(a,b)[/tex] và [tex]x_{o}\in (a,b)[/tex]. Nếu [tex]\exists h> 0\forall x\in (x_{o}-h,x_{o}+h)\setminus \left \{ x^{_{o}} \right \}[/tex]
- Định nghĩa 2 : Nếu [tex]\exists (a,b)\subset D[/tex] và [tex]x_{o}\in (a,b)[/tex] mà [tex]\forall x\in (a,b)\setminus \left \{ x_{o} \right \}[/tex]
[tex]\Rightarrow+ f(x)> f(x_{o}):x_{o}[/tex] là điểm cực tiểu
[tex]+ f(x)< f(x_{o}):x_{o}[/tex] là điểm cực đại
2. ĐIỀU KIỆN CẦN

[tex]x_{o}[/tex] là điểm cực trị của hàm số [tex]\rightarrow f(x_{o})=0[/tex] hoặc không xác định.
3. ĐIỀU KIỆN ĐỦ
- Quy tắc 1: Tìm [tex]x=x_{o}[/tex] thỏa mãn [tex]f'(x)=0[/tex] hoặc không tồn tại [tex]f'(x)[/tex] và [tex]f'(x)[/tex] đổi dấu qua [tex]x=x_{o}[/tex]
- Quy tắc 2: Giải [tex]f'(x)=0[/tex][tex]\rightarrow x=x_{o}[/tex]
[tex]\rightarrow+ f"(x_{o})> 0:x_{o}[/tex] là điểm cực tiểu​

[tex]+ f"(x_{o})< 0:x_{o}[/tex] là điểm cực đại
[tex]+ f"(x_{o})= 0:[/tex] quay về Quy tắc 1​

VD1: Cho hàm số[tex]y=f(x)[/tex] có đạo hàm [tex]f'(x)=x(x-1)^{2}(x+2)^{3}[/tex]. Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị ?
- ĐK cần: [tex]f'(x)=0 \Rightarrow x=0,x=1,x=-2[/tex]
- ĐK đủ : Có thể thấy [tex]f'(x)[/tex] chỉ đổi dấu qua -2 và 0 còn 1 thì không đổi dấu bởi vì 1 là nghiệm kép ( muốn vẽ BBT cho các bạn xem nhưng mà mình không biết vẽ ;_; )
=> Có 2 điểm cực trị là [tex]x=-2[/tex] và [tex]x=0[/tex]
VD2: Với giá trị nào của m thì hàm số [tex]y=x^{3}-m^{2}x^{2}-(4m-3)x-1[/tex] đạt giá trị cực đại tại [tex]x=1[/tex]
-ĐK cần: [tex]y'(1)=0\Leftrightarrow -2m^{2}-4m+6=0\rightarrow m=1,m=-3[/tex]
-ĐK đủ: [tex]+m=1\rightarrow y"=6x-2\rightarrow y"(1)=4> 0\rightarrow x=1[/tex] là cực tiểu​

[tex]+m=-3\rightarrow y"(1)=-12< 0\rightarrow x=1[/tex] là cực đại​

KL: Vậy [tex]m=-3[/tex] thì hàm số đạt cực đại tại [tex]x=1[/tex]
4. PHÂN BIỆT CÁC KHÁI NIỆM
[tex]-f(x)[/tex] đạt CĐ(CT) tại [tex]x_{o}[/tex] [tex]\rightarrow x_{o}[/tex] là điểm CĐ(CT) của ĐTHS
[tex]-f(x_{o})[/tex] là giá trị CĐ(CT) của hàm số
[tex]-A(x_{o};y_{o})[/tex] là điểm CĐ(CT) của ĐTHS
​