Toán 9 Tổng hợp kiến thức cơ bản Toán 9

[Blue Plus]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Xin chào các bạn ^^
Đây sẽ là topic tổng hợp các kiến thức cơ bản của môn Toán lớp 9. Topic này sẽ gồm 8 phần, tương ứng với 8 chương trong SGK. Trong topic này mình sẽ tổng hợp những kiến thức cơ bản của các chương, và một số link chuyên đề liên quan.

Chúng ta cũng đến với:
Phần I - CĂN BẬC HAI. CĂN BẬC BA.

Kiến thức cơ bản.
Mở rộng.​

Phần II - HÀM SỐ BẬC NHẤT.
Phần III - HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN.
Phần IV - HÀM SỐ $y=ax^2$. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN.
Phần V - HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG.
Phần VI - ĐƯỜNG TRÒN.
Phần VII - GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN.
Phần VIII - HÌNH TRỤ. HÌNH NÓN. HÌNH CẦU.

 

[Blue Plus]

Phần I - CĂN BẬC HAI. CĂN BẬC BA.
1. Căn bậc hai:
- Căn bậc hai của số thực không âm $a$ là số thực $x$ sao cho $x^2=a$.

+ Số thực dương $a$ có 2 căn bậc hai là $\sqrt{a}$ và $-\sqrt{a}$.
+ Số 0 có 1 căn bậc hai là chính số 0.
+ Số thực âm không có căn bậc hai.​

- Với số thực không âm $a$, $\sqrt{a}$ được gọi là căn bậc hai số học của $a$. Và $\sqrt{a}$ là một số thực không âm:

$x=\sqrt{a}\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} x\ge 0\\x^2=a \end{matrix} \right.$​

- So sánh các căn bậc hai số học: Với hai số thực không âm $a,b$, ta có:

$a< b\Leftrightarrow \sqrt{a}< \sqrt{b}$
$a= b\Leftrightarrow \sqrt{a}= \sqrt{b}$​

2. Căn thức bậc hai:
- Với $A$ là một biểu thức đại số, $\sqrt{A}$ được gọi là căn thức bậc hai của $A$.
- $\sqrt{A}$ xác định (có nghĩa) khi $A$ lấy giá trị không âm (hay $A\ge 0$).
- Một số công thức biến đổi căn thức: Với $A,B,M$ là các biểu thức:

i) $\sqrt{A^2}=\left |A\right |$
ii) $\sqrt{A\cdot B}=\sqrt{A}\cdot\sqrt{B}$ (với $A\ge 0,B\ge 0$)
iii) $\sqrt{\dfrac{A}{B}}=\dfrac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}$ (với $A\ge 0,B>0$)
iv) $\sqrt{A^2\cdot B}=\left |A\right |\sqrt{B}=A\sqrt{B}$ (với $A\ge 0,B\ge 0); \sqrt{A^2\cdot B}=\left |A\right |\sqrt{B}=-A\sqrt{B}$ (với $A< 0,B\ge 0)$
v) $\sqrt{\dfrac{A}{B}}=\sqrt{\dfrac{A\cdot B}{B^2}}=\dfrac{\sqrt{A\cdot B}}{\left |B\right |}$ (với $AB\ge 0,B\ne 0$)
vi) $\dfrac{A}{\sqrt{B}}=\dfrac{A\sqrt{B}}{B}$ (với $B>0$)
vii) $\dfrac{M}{\sqrt{A}\pm B}=\dfrac{M\left(\sqrt{A}\mp B\right)}{A-B^2}$ (với $A\ge 0,A\ne B^2$)
viii) $\dfrac{M}{\sqrt{A}\pm \sqrt{B}}=\dfrac{M\left(\sqrt{A}\mp \sqrt{B} \right)}{A-B}$ (với $A\ge 0,B\ge 0,A\ne B$)​

3. Căn bậc ba:
- Căn bậc ba của một số thực $a$ là số thực $x$ sao cho $x^3=a$. Kí hiệu $\sqrt[3]{a}$.
- Mỗi số thực $a$ có duy nhất một căn bậc ba.
- Nếu $a>0$ thì $\sqrt[3]{a}>0$, nếu $a<0$ thì $\sqrt[3]{a}<0$, nếu $a=0$ thì $\sqrt[3]{a}=0$.
- Một số tính chất:

i) $a<b\Leftrightarrow \sqrt[3]a<\sqrt[3]b$; $a=b\Leftrightarrow \sqrt[3]a=\sqrt[3]b$
ii) $\sqrt[3]{a^3}=a$
iii) $\sqrt[3]{a\cdot b}=\sqrt[3]a\cdot \sqrt[3]b$
iv) $\sqrt[3]{\dfrac{a}b}=\dfrac{\sqrt[3]a}{\sqrt[3]b}$ (với $b\ne 0$)​

 

[Blue Plus]

(tiếp)
- Một số công thức biến đổi căn thức bậc ba: Với $A,B,M$ là các biểu thức:

i) $A\sqrt[3]B=\sqrt[3]{A^3B}$
ii) $\sqrt[3]{\dfrac{A}B}=\sqrt[3]{\dfrac{A\cdot B^2}{B^3}}=\dfrac{\sqrt[3]{AB^2}}{B}$ (với $B\ne 0$)
iii) $\dfrac{1}{\sqrt[3]A\pm\sqrt[3]B}=\dfrac{\sqrt[3]{A^2}\mp\sqrt[3]{A\cdot B}+\sqrt[3]{B^2}}{A\pm B}$ (với $A\ne B$)​

4. Căn bậc $n$:
- Căn bậc $n$ của một số thực $a$ là một số $x$ sao cho $x^n=a$. Kí hiệu $\sqrt[n]a$.
- Nếu $n$ lẻ: $n=2k+1,k\in\mathbb{N}$ thì:

+) Mọi số thực $a$ đều có một căn bậc $2k+1$ duy nhất:

$x=\sqrt[2k+1]a\Leftrightarrow x^{2k+1}=a$.​

+) Nếu $a>0$ thì $\sqrt[2k+1]a>0$, nếu $a<0$ thì $\sqrt[2k+1]a<0$, nếu $a=0$ thì $\sqrt[2k+1]a=0$.​

- Nếu $n$ chẵn: $n=2k,k\in\mathbb{N}^\star$ thì:

+) Mọi số thực dương $a$ đều có hai căn bậc $2k$ là $\sqrt[2k]a$ và $-\sqrt[2k]a$.

$x=\sqrt[2k]a\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} x\ge 0\\x^{2k}=a \end{matrix} \right.$​

+) Số $0$ có một căn bậc $2k$ duy nhất là $0$.​

5. Một số dạng bài tập thường gặp:

• Tính giá trị biểu thức. Rút gọn biểu thức.
  • Chuyên đề Căn bậc ba (do chị @vangiang124 chia sẻ).
• Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
• Tìm giá trị $x$ để biểu thức nguyên.

(còn tiếp)

 

[Blue Plus]

Phần II - HÀM SỐ BẬC NHẤT.
1. Hàm số:
Ta chú ý 2 định nghĩa:
- Nếu đại lượng $y$ phụ thuộc vào đại lượng thay đổi $x$ sao cho với mỗi giá trị của $x$ ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của $y$ thì $y$ được gọi là hàm số của $x$ và $x$ được gọi là biến số.
- Đồ thị hàm số $y=f(x)$ là tập hợp các điểm biểu diễn các cặp giá trị tương ứng $\left (x;f(x)\right )$ trên mặt phẳng tọa độ $\text{Oxy}$.
2. Hàm số bậc nhất:
a. Định nghĩa:
- Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức $y=ax+b$ với $a,b$ là các số thực cho trước và $a\ne 0$.
b. Tính chất:
- Hàm số bậc nhất $y=ax+b(a\ne 0)$ có tính chất:

+) Xác định với mọi $x\in\mathbb{R}$.
+) Đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi $a>0$; nghịch biến trên $\mathbb{R}$ khi $a<0$.​

c. Đồ thị của hàm số $y=ax+b(a\ne 0)$:
- Đồ thị của hàm số $y=ax+b(a\ne 0)$ là một đường thẳng:

+) Cắt trục tung tại điểm có tung độ là $b$.
+) Cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là $-\dfrac{b}a$.
+) Song song với đường thẳng $y=ax$, nếu $b\ne 0$. Trùng với đường thẳng $y=ax$, nếu $b=0$.
+) $b$ được gọi là tung độ gốc của đường thẳng.
+) $a$ được gọi là hệ số góc của đường thẳng. Gọi $\alpha$ là góc tạo bởi đường thẳng $y=ax+b(a\ne 0)$ với trục $Ox$:

Nếu $a>0$ thì $\alpha$ là góc nhọn và $\tan \alpha=a$.
Nếu $a<0$ thì $\alpha$ là góc tù và $\tan (180^\circ-\alpha)=|a|$ hay $\tan \beta = |a|$ với $\beta$ là góc kề bù với góc $\alpha$.​

- Cách vẽ đồ thị của hàm số $y=ax+b(a\ne 0)$: Vẽ 2 điểm phân biệt thuộc đồ thị, rồi vẽ đường thẳng đi qua 2 điểm đó.
d. Quan hệ giữa hai đường thẳng:
- Cho hai đường thẳng $y=ax+b(d)$ và $y=a'x+b'(d')$ với $a\ne 0;a'\ne 0$. Ta có:

+) $(d)$ và $(d')$ cắt nhau $\Leftrightarrow a\ne a'$.
+) $(d)$ và $(d')$ song song với nhau $\Leftrightarrow a=a', b\ne b'$.
+) $(d)$ và $(d')$ trùng nhau $\Leftrightarrow a=a',b=b'$.
+) $(d)$ và $(d')$ vuông góc với nhau $\Leftrightarrow a\cdot a'=-1$.​

e. Một số kiến thức khác:
Cho 2 điểm $A\left(x_A;y_A\right)$ và $B\left(x_B;y_B\right)$ thì $AB=\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2}$.
Nếu $M(x;y)$ là trung điểm $AB$ thì $x=\dfrac{x_A+x_B}2;y=\dfrac{y_A+y_B}2$.
3. Một số dạng bài tập thường gặp:

• Tìm điều kiện để hàm số đồng biến/ nghịch biến.
• Tìm đường thẳng thỏa mãn yêu cầu cho trước.
• Tìm điểm cố định mà đường thẳng luôn đi qua.

​

 

[Blue Plus]

Phần III - HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN.
1. Phương trình bậc nhất hai ẩn:
- Phương trình bậc nhất hai ẩn $x$ và $y$ là hệ thức dạng $ax+by=c\ (1)$ , với $a,b,c$ là các số thực cho trước và $a,b$ không đồng thời bằng 0.
- Cặp số $\left(x_0;y_0\right)$ được gọi là một nghiệm của phương trình $(1)$ nếu $ax_0+by_0=c$.
- Phương trình bậc nhất hai ẩn $ax+by=c$ luôn luôn có vô số nghiệm. Tập nghiệm của nó đường biểu diễn bởi đường thẳng $ax+by=c$.
2. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:
- Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ phương trình có dạng:

$\left\{ \begin{matrix} ax+by=c\\a'x+b'y=c' \end{matrix} \right.$​

- Cặp số $\left(x_0;y_0\right)$ được gọi là một nghiệm của hệ phương trình nếu nó là nghiệm chung của hai phương trình đó.
- Đối với hệ : $\left\{ \begin{matrix} ax+by=c\\a'x+b'y=c' \end{matrix} \right.$ với $a;b;c;a';b';c'$ khác 0:

+) Có nghiệm duy nhất nếu $\dfrac{a}{a'}\ne \dfrac{b}{b'}$
+) Vô nghiệm nếu $\dfrac{a}{a'}= \dfrac{b}{b'}\ne \dfrac{c}{c'}$
+) Vô số nghiệm nếu $\dfrac{a}{a'}= \dfrac{b}{b'}=\dfrac{c}{c'}$​

- Phương pháp giải:

+) Phương pháp thế.
+) Phương pháp cộng đại số.​

3. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:

 

[Blue Plus]

Phần IV - HÀM SỐ $y=ax^2$. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN.
1. Hàm số $y=ax^2$:
a. Tính chất:
- Xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$.
- Nếu $a>0$ thì hàm số nghịch biến khi $x<0$ và đồng biến khi $x>0$.
- Nếu $a<0$ thì hàm số đồng biến khi $x<0$ và nghịch biến khi $x>0$.
- Nếu $a>0$ thì $y\ge 0$ với mọi $x$; $y=0$ khi $x=0$.
- Nếu $a<0$ thì $y\le 0$ với mọi $x$; $y=0$ khi $x=0$.
b. Đồ thị của hàm số $y=ax^2(a\ne 0)$:
- Là một đường parabol nhận gốc tọa độ $O$ làm đỉnh, nhận trục tung làm trục đối xứng.
- Khi $a>0$ thì parabol có bề lõm quay lên trên, khi $a<0$ thì parabol có bề lõm quay xuống dưới.
2. Phương trình bậc hai một ẩn:
a. Định nghĩa:
- Phương trình bậc hai một ẩn (phương trình bậc hai) là phương trình có dạng:

$ax^2+bx+c=0$​

Trong đó $x$ là ẩn, $a,b,c$ là các số cho trước và $a\ne 0$.
b. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
Phương trình $ax^2+bx+c=0(a\ne 0)$ có biệt thức $\Delta =b^2-4ac$
- Nếu $\Delta<0$ thì phương trình vô nghiệm.
- Nếu $\Delta=0$ thì phương trình có nghiệm kép $x=-\dfrac{b}{2a}$.
- Nếu $\Delta>0$ thì phương trình có 2 nghiệm $x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a};x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$.
Công thức nghiệm thu gọn: khi $b=2b'$, ta xét biệt thức $\Delta'=b'^2-ac$
- Nếu $\Delta'<0$ thì phương trình vô nghiệm.
- Nếu $\Delta'=0$ thì phương trình có nghiệm kép $x=-\dfrac{b'}{a}$.
- Nếu $\Delta'>0$ thì phương trình có 2 nghiệm $x_1=\dfrac{-b'+\sqrt{\Delta'}}{a};x_2=\dfrac{-b'-\sqrt{\Delta'}}{a}$.
c. Định lí Vi-ét:
Nếu $x_1;x_2$ là hai nghiệm của phương trình $ax^2+bx+c=0(a\ne 0)$ thì

$\left \{ \begin{matrix} x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}\\x_1x_2=\dfrac{c}{a} \end{matrix} \right.$​

Lưu ý: Trước khi sử dụng định lí Vi-ét cần kiểm tra điều kiện phương trình có nghiệm, tức là $\Delta \ge 0$.
Ứng dụng: Tìm hai số biết tổng và tích của chúng.
Nếu hai số có tổng bằng $S$ và tishc bằng $P$ thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình:

$x^2-Sx+P=0$​

Điều kiện để có hai số đó là $S^2-4P\ge 0$.
d. Dấu của nghiệm phương trình bậc hai:
Phương trình $ax^2+bx+c=0(a\ne 0)$
- Có hai nghiệm trái dấu $\Leftrightarrow ac<0$
- Có hai nghiệm cùng dấu $\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} \Delta \ge 0\\ac>0 \end{matrix} \right.$
- Có hai nghiệm dương $\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} \Delta \ge 0\\ac>0\\ab<0 \end{matrix} \right.$
- Có hai nghiệm âm $\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} \Delta \ge 0\\ac>0\\ab>0 \end{matrix} \right.$
Lưu ý: Nếu đề bài yêu cầu hai nghiệm phân biệt thì thay điều kiện $\Delta \ge 0$ bởi $\Delta >0$.
3. Một số phương trình quy về phương trình bậc hai:
4. Giải bài toán bằng cách lập phương trình bậc hai:
5. Một số dạng bài tập thường gặp:
- Tìm parabol thỏa mãn.
- Tìm giao điểm của parabol và đường thẳng.
- Tìm nghiệm của phương trình.
- Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm/vô nghiệm/…
- Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.

 

[Blue Plus]

Phần V - HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG.
1. Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông:
Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$:
- $b^2+c^2=a^2$ (định lí Py-ta-go).
- $b^2=ab';c^2=ac'$
- $h^2=b'c'$
- $bc=ah$
- $\dfrac{1}{h^2}=\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}$
2. Định nghĩa các tỉ số lượng giác của góc nhọn:
$\sin \alpha =\dfrac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh huyền}}$
$\cos \alpha =\dfrac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh huyền}}$
$\tan \alpha =\dfrac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh kề}}$
$\cot \alpha =\dfrac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh đối}}$
3. Một số tính chất của các tỉ số lượng giác:
Cho góc nhọn $\alpha$, ta có:
- $0<\sin \alpha < 1; 0<\cos \alpha<1; \tan \alpha >0; \cot \alpha >)$
- $\tan \alpha =\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}; \cot \alpha =\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$
- $\sin^2\alpha +\cos^2\alpha =1$
Cho hai góc nhọn $\alpha,\beta$ phụ nhau ($\alpha+\beta=90^\circ$), ta có:
- $\sin \alpha=\cos \beta;\cos \alpha=\sin \beta;\tan \alpha=\cot \beta;\cot \alpha=\tan \beta$
Cho hai góc nhọn $\alpha,\beta$ sao cho $\alpha<\beta$, ta có:
- $0<\sin \alpha<\sin \beta<1;0<\tan \alpha<\tan \beta$
- $0<\cos \beta<\cos \alpha<1;0<\cot \beta<\cot \alpha$

Tỉ số lượng giác của một số góc đặc biệt:

​	$30^\circ$​	$45^\circ$​	$30^\circ$​
$\sin \alpha$​	$\dfrac12$​	$\dfrac{\sqrt2}{2}$​	$\dfrac{\sqrt3}{2}$​
$\cos \alpha$​	$\dfrac{\sqrt3}{2}$​	$\dfrac{\sqrt2}{2}$​	$\dfrac12$​
$\tan \alpha$​	$\dfrac{\sqrt3}3$​	$1$​	$\sqrt3$​
$\cot \alpha$​	$\sqrt3$​	$1$​	$\dfrac{\sqrt3}3$​

[TBODY] [/TBODY]

4. Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông:
Cho tam giác $\triangle ABC$ vuông tại $A$. Ta có:
- $b=a\sin B;c=a\sin C$
- $b=a\cos C;c=a\cos B$
- $b=c\tan B;c=b\tan C$
- $b=c\cot C;c=b\cot B$

 

[Blue Plus]

Phần VI - ĐƯỜNG TRÒN.
1. Định nghĩa:
- Đường tròn tâm $O$ bán kính $R$ (với $R>0$) là hình gồm các điểm cách điểm $O$ một khoảng bằng $R$. Kí hiệu $(O;R)$ (hoặc $(O)$ nếu không cần chú ý đến bán kính.
- Điểm $M$ thuộc đường tròn $(O;R)$ nếu $OM=R$, nằm trong đường tròn $(O;R)$ nếu $OM<R$, nằm ngoài đường tròn $(O;R)$ nếu $OM>R$.
- Hình tròn tâm $O$ bán kính $R$ (với $R>0$) là hình gồm các điểm cách điểm $O$ một khoảng không vượt quá $R$ (bao gồm đường tròn tâm $O$ bán kính $R$ và các điểm nằm trong đường tròn đó.)
- Đường tròn đi qua ba đỉnh $A,B,C$ của tam giác $ABC$ gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$
- Đoạn thẳng nối hai điểm nằm trên đường tròn và đi qua tâm của đường tròn gọi là đường kính của đường tròn đó.
- Đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ nằm trên một đường tròn gọi là một dây của đường tròn đó.
- Tiếp tuyến của đường tròn là đường thẳng chỉ có một điểm chung với đường tròn đó.
- Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác gọi là đường tròn nội tiếp tam giác.
- Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của một tam giác và tiếp xúc với các phần kéo dài của hai cạnh kia gọi là đường tròn bàng tiếp tam giác.
2. Định lí. Tính chất.
- Qua ba điểm không thẳng hàng, ta vẽ được một và chỉ một đường tròn.
- Không vẽ được đường tròn nào đi qua ba điểm thẳng hàng.
- Đường tròn là hình có một tâm đối xứng. Tâm đối xứng của đường tròn chính là tâm của đường tròn đó.
- Đường tròn là hình có vô số trục đối xứng. Bất kì đường kính nào của đường tròn cũng là trục đối xứng của đường tròn.
- Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền.
- Nếu một tam giác có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp thì tam giác đó là tam giác vuông.
- Trong các dây của một đường tròn, dây lớn nhất là đường kính.
(với mọi dây $AB$ của đường tròn thì $AB\le 2R$)
- Trong một đường tròn:

+) Đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.
+) Đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy.​

- Trong một đường tròn:

+) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.
+) Hai dây cách đều nhau thì bằng nhau.​

- Trong hai dây của một đường tròn:

+) Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.
+) Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.​

- Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn thì:

+) Khoảng cách từ tâm của đường tròn đến đường thẳng đó bằng bán kính của đường tròn.
+) Vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.
+) Dấu hiệu nhận biết: Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.​

- Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:

+) Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.
+) Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.
+) Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm.​

- Nếu hai đường tròn cắt nhau thì hai giao điểm đối xứng với nhau qua đường nối tâm, tức là đường nối tâm là đường trung trực của dây chung.
- Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm.
3. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn:
Xét đường tròn $(O;R)$ và đường thẳng $a$. Gọi $H$ là chân đường vuông góc kẻ từ $O$ đến đường thẳng $a$, khi đó $d$ là khoảng cách từ tâm $O$ đến đường thẳng $A$. Ta có:

Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn​	Số điểm chung​	Hệ thức giữa $d$ và $R$​
Đường thẳng và đường tròn cắt nhau Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau Đường thẳng và đường tròn không giao nhau	2 1 0​	$d<R$ $d=R$ $d>R$​

[TBODY] [/TBODY]

4. Vị trí tương đối của hai đường tròn:

Vị trí tương đối của hai đường tròn $(O;R)$ và $(O';r)$ ($R\ge r$)	Số điểm chung	Hệ thức giữa với $R$ và $r$​	Số tiếp tuyến chung​
Hai đường tròn cắt nhau	2​	$R-r<OO'<R+r$​	2​
Hai đường tròn tiếp xúc nhau: - Tiếp xúc ngoài - Tiếp xúc trong	1​	$OO'=R+r$ $OO'=R-r>0$​	3 1​
Hai đường tròn không giao nhau: - $(O)$ và $(O')$ ở ngoài nhau - $(O)$ đựng $(O')$	0​	$OO'>R+r$ $OO'<R-r$​	4 0​

[TBODY] [/TBODY]

 

[Blue Plus]

Phần VII - GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN.
1. Định nghĩa:
- Góc ở tâm là góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn.
- Số đo cung nhỏ bằng số đó của góc ở tâm chắn cung đó.
- Số đo cung lớn bằng hiệu giữa $360^\circ$ và số đo của cung nhỏ (có chung hai mút với cung lớn).
- Số đó của nửa đường tròn bằng $180^\circ$.
- Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó.
- Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung là góc có đỉnh tại tiếp điểm, một cạnh là tia tiếp tuyến và cạnh kia chứa dây cung.
- Tứ giác nội tiếp đường tròn là tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn.
- Đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của một đa giác được gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác và đa giác được gọi là đa giác nội tiếp đường tròn.
- Đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của một đa giác được gọi là đường tròn nội tiếp đa giác và đa giác được gọi là đa giác ngoại tiếp đường tròn.
2. Định lí, tính chất:
- Nếu $C$ là một điểm nằm trên cung $AB$ thì $sđ\ AB=sđ\ AC+sđ\ CB$.
- Trong một đường tròn hoặc trong hai đường tròn bằng nhau:

+) Hai cung bằng nhau có số đo bằng nhau.
+) Cung nào có số đo lớn hơn thì cung đó lớn hơn.
+) Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau, hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau.
+) Cung lớn hơn căng dây lớn hơn, dây lớn hơn căng cung lớn hơn.
+) Hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.​

- Trong một đường tròn:

+) Đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy.
+) Đường kính đi qua trung điểm của một dây cung (không phải là đường kính) thì chia cung căng dây ấy thành hai cung bằng nhau.
+) Đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy và ngược lại.​

- Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.
- Số đo của góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn.
- Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.
- Số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn.
- Trong một đường tròn:

+) Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.
+) Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.
+) Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng $90^\circ$) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung.
+) Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông, góc vuông nội tiếp thì chắn nửa đường tròn.
+) Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.​

- Quỹ tích (tập hợp) các điểm nhìn một đoạn thẳng cho trước dưới một góc $\alpha$ không đổi là hai cung chứa góc $\alpha$ dựng trên đoạn thẳng đó $(0^\circ <\alpha <180^\circ)$.
- Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối nhau bằng $180^\circ$, và ngược lại, nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối nhau bằng $180^\circ$ thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.
- Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp:

+) Tứ giác có tổng hai góc đối nhau bằng $180^\circ$.
+) Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối của đỉnh đó.
+) Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm (mà ta có thể xác định được). Điểm đó là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác.
+) Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc $\alpha$.​

- Hình thang nội tiếp được đường tròn là hình thang cân, hình thang cân thì nội tiếp được đường tròn.
- Bất cứ đa giác đều nào cũng có một và chỉ một đường tròn ngoại tiếp, có một và chỉ một đường tròn nội tiếp.
- Trên đường tròn bán kính $R$, độ dài $l$ của một cung $n^\circ$ được tính theo công thức: $l=\dfrac{\pi Rn}{180}$
- Diện tích hình quạt tròn bán kính $R$, cung $n^\circ$ được tính theo công thức: $S=\dfrac{\pi R^2n}{360}=\dfrac{lR}2$

 

[Blue Plus]

Phần VIII - HÌNH TRỤ. HÌNH NÓN. HÌNH CẦU.
1. Định nghĩa:
- Khi quay hình chữ nhật một vòng quanh một cạnh cố định, ta được một hình trụ.
- Khi quay một tam giác vuông một vòng quanh một cạnh góc vuông cố định, ta được một hình nón.
- Khi cắt hình nón bởi một mặt phẳng song song với đáy thì phần hình nón nằm giữa mặt phẳng nói trên và mặt đáy được gọi là một hình nón cụt.
- Khi quay nửa hình tròn một vòng quanh đường kính cố định, ta được một hình cầu.
2. Công thức:
a. Hình trụ:
Hình trụ có bán kính đáy $r$, chiều cao $h$ có:

$S_{xq}=2\pi rh$
$S_{tp}=2\pi rh+2\pi r^2$
$V=\pi r^2h$​

b. Hình nón:
Hình nón có bán kính đáy $r$, đường sinh $l$ có:

$S_{xq}=\pi rl$
$S_{tp}=\pi rl+\pi r^2$
$V=\dfrac13 \pi r^2h$​

c. Hình nón cụt:
Hình nón có các bán kính đáy $r_1;r_2$, đường sinh $l$ có:

$S_{xq}=\pi(r_1+r_2)l$
$V=\dfrac13\pi h(r_1^2+r_2^2+r_1r_2)$​

d. Hình cầu:
Hình cầu có bán kính $R$ có:

$S=4\pi R^2=\pi d^2$
$V=\dfrac{4}3\pi R^3$​

 

[Nguyễn Linh_2006]

Phần VIII - HÌNH TRỤ. HÌNH NÓN. HÌNH CẦU.
1. Định nghĩa:
- Khi quay hình chữ nhật một vòng quanh một cạnh cố định, ta được một hình trụ.
- Khi quay một tam giác vuông một vòng quanh một cạnh góc vuông cố định, ta được một hình nón.
- Khi cắt hình nón bởi một mặt phẳng song song với đáy thì phần hình nón nằm giữa mặt phẳng nói trên và mặt đáy được gọi là một hình nón cụt.
- Khi quay nửa hình tròn một vòng quanh đường kính cố định, ta được một hình cầu.
2. Công thức:
a. Hình trụ:
Hình trụ có bán kính đáy $r$, chiều cao $h$ có:

$S_{xq}=2\pi rh$
$S_{tp}=2\pi rh+2\pi r^2$
$V=\pi r^2h$​

b. Hình nón:
Hình nón có bán kính đáy $r$, đường sinh $l$ có:

$S_{xq}=\pi rl$
$S_{tp}=\pi rl+\pi r^2$
$V=\dfrac13 \pi r^2h$​

c. Hình nón cụt:
Hình nón có các bán kính đáy $r_1;r_2$, đường sinh $l$ có:

$S_{xq}=\pi(r_1+r_2)l$
$V=\dfrac13\pi h(r_1^2+r_2^2+r_1r_2)$​

d. Hình cầu:
Hình cầu có bán kính $R$ có:

$S=4\pi R^2=\pi d^2$
$V=\dfrac{4}3\pi R^2$​

Anh ơi,

Em tưởng thể tích của hình cầu phải là : [TEX]V=\dfrac{4}{3}.\pi.R^3[/TEX] chứ ạ?