Tổng hợp các phương pháp chứng minh bất đẳng thức

V

vozdanh

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Phương pháp 1: Phương pháp dựa vào định nghĩa
- Lập hiệu A-B
- Biến đổi biểu thức (A-B) và chứng minh A-B \geq0
- Kết luận A \geqB
- Xét trường hợp A=B khi nào
VD: CMR:
[TEX] \frac{b}{a}+ \frac{b}{a}\geq2[/TEX] với mọi a, b cùng dấu.

CM: Ta có:
[TEX]\frac{b}{a}+ \frac{b}{a} -2 = \frac{a^2+b^2-2ab}{ab}= \frac{(a-b)^2}{ab} a, b[/TEX] cùng dấu => ab>o => \frac{(a-b)^2}{ab}\geq0
Vậy [TEX] \frac{b}{a}+ \frac{b}{a}\geq2 [/TEX]
Dấu “=” sảy ra khi và chỉ khi a-b=0, hay a=b ./.
 
V

vozdanh

Phương pháp 2: Phương pháp chứng minh trực tiếp[TEX][/TEX]
- Biến đổi vế phức tạp, thường là vế trái:
A=A1=A2= ... = B+M^2
vì [TEX]M^2 \geq0[/TEX] nên [TEX]B+M^2\geq B[/TEX]
=> [TEX]a\geq B[/TEX]
Dấu “ =” sảy ra khi và chỉ khi M=0

VD: CMR: [TEX]x^2-4x+3\geq-1[/TEX]
với mọi x
CM:
Ta có: [TEX]x^2-4x+3 = -1+(x-2)^2 \geq-1[/TEX]

=> [TEX]x^2-4x+3\geq-1[/TEX]
Dấu”=” sảy ra khi và chỉ khi x=2
 
Last edited by a moderator:
V

vozdanh

Phương pháp4: Dùng tính chất tỉ số
Cho 3 số dương a,b,c :
Nếu [TEX]\frac{a}{b}<1[/TEX] thì [TEX]\frac{a}{b}<\frac{(a+c)}{(b+c)}[/TEX]
Nếu [TEX]\frac{a}{b}>1[/TEX] thì [TEX]\frac{a}{b}>\frac{(a+c)}{(b+c)}[/TEX]
Nếu[TEX] b,d>o[/TEX] thì từ [TEX] \frac{a}{b}<\frac{c}{d}=>\frac{a}{b}<\frac{(a+c)}{(b+d)}<\frac{c}{d}[/TEX]

VD: a,b,c là 3 số dương. CMR:
[TEX]1<\frac{a}{a+b}+\frac{b}{c+b}+\frac{c}{a+c}<2[/TEX]
CM:
Do [TEX]c>o[/TEX]=>[TEX]\frac{a}{a+b+c}<\frac{a}{a+b}<\frac{a+c}{a+b+c} [/TEX] (3)
Tương tự ta có :[TEX] \frac{b}{a+b+c}<\frac{b}{c+b}<\frac{a+b}{a+b+c}[/TEX] (4)
và: [TEX]\frac{c}{a+b+c}<\frac{c}{c+a}<\frac{c+b}{a+b+c}[/TEX] (5)
cộng vế với vế 3 BĐT kép(3),(4) và (5) ta được:
[TEX]1<\frac{a}{a+b}+\frac{b}{c+b}+\frac{c}{a+c}<2[/TEX] (đpcm)
 
V

vozdanh

Phương pháp 5: Dùng phép biến đổi tương đương
Ta biến đổi BĐT cần chứng minh tương đưng với BĐT đúng hoặc BĐT đã được chứng minh đúng.
Chú ý các BĐT sau:
- Bình phương của tổng, hiệu
- Lập phương của tổng, hiệu
-[TEX](a+b+c)^2= a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca[/TEX]
[TEX](a+b+c+d)^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2dc[/TEX]
[TEX]a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)[/TEX]
VD: Cho a,b là các số thực. CMR:
[TEX]a^2+b^2+1\geq ab+a+b[/TEX]
CM:
Ta có: [TEX]a^2+b^2+1\geq ab+a+b[/TEX]
<=>[TEX](a^2+b^2+1)-2(ab+a+b)\geq0[/TEX]
<=>[TEX](a^2-2ab+b^2)+(a^2-2a+1)+(b^2-2b+1)\geq0[/TEX]
<=>[TEX](a-b)^2+(a-1)^2+(b-1)^2\geq0[/TEX] (luôn đúng\foralla,b)
 
V

vozdanh

Phương pháp 6: Phương pháp làm trội

Dùng tính chẩt của BĐT để đưa một vế của BĐT cần chứng minh về dạng để tính tổng hữa hạn hoặc tích hữu hạn.
- Phương pháp chung để tính tổng hữu hạn:
[TEX]S_n=u_1+u_2+u_3+...+u_n[/TEX]
là biểu diễn số hạng tổng quát u_k về hiệu của 2 số hạng liên tiếp nhau : [TEX]u_k=a_k-a_{k+1}[/TEX]
Lúc đó : [TEX]S_n=(a_1-a_2)+(a_2-a_3)+...+(a_n-a_{n+1})=a_1-a_{n+1}[/TEX]

-Phương pháp chung để tính tích hữu hạn [TEX]P_n=u_1u_2.....u_n[/TEX] là biểu diễn số hạng tổng quát u_k về thương của 2 số hạng liên tiếp nhau [TEX]u_k=\frac{a_k}{a_k+1}[/TEX]
Lúc đó [TEX]P_n=\frac{a_1a_2}{a_2a_3}....\frac{a_{n-1}a_n}{a_na_{n+1}}=\frac{a_1}{a_{n+1}} [/TEX]

VD:Chứng minh các BĐT sau với n là STN:
a,
[TEX]\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{n^2}\<2-\frac{1}{n}(k>1) [/TEX]
b,
[TEX]\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{n^2}\<5/3 [/TEX]
CM:
a.
Với k>1 ta có
[TEX]\frac{1}{k^2}<\frac{1}{k.(k-1)}=\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\ [/TEX]Lần lượt thay k=2,3,..,n rồi cộng lại có:
[TEX]\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{n^2}<1-\frac{1}{n}[/TEX] => đpcm
b.
Với mọi k>1 ta có:
[TEX]\frac{1}{k^2}=\frac{4}{4k^2}<\frac{4}{4k^2-1}=\frac{4}{(2k-1)[/TEX][TEX](2k+1)}=\frac{2[(2k+1)-(2k-1)}{(2k-1)(2k+1)}=2(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1})[/TEX]
Vậy :
[TEX]\frac{1}{k^2}<2(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1})[/TEX]
Lần lượt thay k=2,3,...,n vào rồi cộng lại ta được:
[TEX]\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{n^2}<1+2(\frac{1}{3}+\frac{1}{2n+1})<1+\frac{2}{3}=\frac{5}{3}[/TEX]
 
V

vozdanh

Phương pháp 5: Dùng tam thức bậc 2
(*Định lí về dấu tam thức bậc 2:
Cho tam thứcbậc 2 :f(x)ax^2+bx+c=0(a khác 0)
+ Nếu \Delta<0 thì af(x)>0 với mọi x
+ Nếu \Delta=0 thì af(x)\geq0 với mọi x
Dấu đẳng thức sảy ra khi và chỉ khi x=\frac{-b}{2a}
+Nếu \Delta>0 lập bảng xét dấu
*Định lí đảo về dấu cho tam thức bậc 2:
Cho:[TEX]f(x)ax^2+bx+c=0[/TEX](a khác 0)
Nếu tồn tại \alpha\in R sao cho af(x)<p thì f(x) có 2 nghiệm pb và x_1<\alpha<x_2

Hệ quả: Nếu tồn tại \alpha,\beta\in R sao cho f(\alpha).f(\beta)<0 thì f(x) có 2 nghiệm pb và trong 2 số \alpha,\beta có một số nằm ngoài khoảng hai nghiệm)

Dạng 1:Chứng minh [TEX]ax^2+bx+c\geq0 mọi x[/TEX]
Ta chứng minh [TEX]\left{\begin{a>2}\\{\Delta=b^2-4ac\leq0 [/TEX]
VD: CMR: [TEX]x^2y^4+2(x^2+2)y^2+4xy+x^2\geq4xy^3[/TEX] với mọi x,y
CM:Bđt cần Cm tương đương với
[TEX](x^2y^4+2x^2y^2+x^2)+(4xy-4xy^3)+4y^2\geq0[/TEX]
<=>[TEX](y^2+1)^2x^2 +4y(1-y^2)x+4y^2\geq0[/TEX]
Đặt f(x)=VT
Ta có [TEX]\Delta'=4y^2(1-y^2)^2-4y^2(y^2+1)^2=-16y^2\leq0[/TEX] mọi y
=>f(x)\geq0 mọi x,y. ( vì a=(y^2+1)^2>0)
 
O

olongvien98

thế nếu là bạn gái thì sao đây

nhìn cái ảnh chán wa đi mất thay cái khác đi bạn
o-+:cool:b-(
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom