Toán 8 Tổng hợp các bài toán hình học 8 thường gặp

Alice_www

Mod Toán
Cu li diễn đàn
8 Tháng mười một 2021
1,439
3
1,984
211
Bà Rịa - Vũng Tàu
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

:Tuzki57Đây sẽ là một series dài để chia sẻ các mô hình bài toán mà học sinh lớp 8 sẽ thường gặp. Các bạn hãy cùng theo dõi chủ để đề cập nhập nhanh nhất những bài này nha.

CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC 8 THƯỜNG GẶP

Bài toán 1: Cho tam giác [imath]ABC[/imath] vuông ở [imath]A[/imath], đường cao [imath]AH[/imath]. Kẻ [imath]HD, HE[/imath] lần lượt vuông góc với [imath]AB, AC[/imath] [imath](D\in AB[/imath], [imath]E\in AC)[/imath]. Gọi [imath]O[/imath] là giao điểm của [imath]AH[/imath] và [imath]DE[/imath].
1) Chứng minh [imath]ADHE[/imath] là hình chữ nhật

2) Chứng minh [imath]AE.AC=AD.AB[/imath]
3) Kẻ tia [imath]Ax\bot DE[/imath] cắt BC tại M. Chứng minh M là trung điểm BC
4) Gọi [imath]P,Q[/imath] lần lượt là trung điểm của [imath]BH,HC[/imath]. Tứ giác [imath]DPQE[/imath] là hình gì?
5) Chứng minh [imath]O[/imath] là trực tâm của [imath]\Delta ABQ[/imath]
6) Chứng minh [imath]S_{ABC}=2S_{DPQE}[/imath]

7) Tam giác ABC cần thêm điều kiện gì để [imath]DE=2EQ[/imath]

1656030488428.png
1) Chứng minh [imath]ADHE[/imath] là hình chữ nhật (hoặc chứng minh [imath]AH=DE)[/imath]


Xét tứ giác [imath]ADHE[/imath] có [imath]\widehat{DAE}=\widehat{ADH}=\widehat{HEA}=90^\circ[/imath]

[imath]\Rightarrow ADHE[/imath] là hình chữ nhật [imath]\Rightarrow AH=DE[/imath]

2) Chứng minh [imath]AE.AC=AD.AB[/imath] (hoặc chứng minh [imath]\widehat{AEB}=\widehat{ACD})[/imath]

[imath]ADHE[/imath] là hình chữ nhật [imath]\Rightarrow \widehat{AED}=\widehat{AHD}[/imath]

Mà [imath]\widehat{AHD}=\widehat{ABC}[/imath] (cùng phụ với [imath]\widehat{DHB}[/imath])
Xét [imath]\Delta ADE[/imath] và [imath]\Delta ACB[/imath] cùng vuông tại A

có [imath]\widehat{AED}=\widehat{ABC}[/imath]

[imath]\Rightarrow \Delta ADE\sim \Delta ACB[/imath]

[imath]\Rightarrow \dfrac{AD}{AC}=\dfrac{AE}{AB}\Rightarrow AB.AD=AC.AE[/imath]

Để chứng minh ý trong ngoặc cần chứng minh thêm [imath]\Delta ABE\sim \Delta ACD[/imath]

3) Kẻ tia [imath]Ax\bot DE[/imath] cắt BC tại M. Chứng minh M là trung điểm BC (hoặc M là trung điểm BC chứng minh [imath]AM\bot DE)[/imath]

Ta có: [imath]\widehat{MAE}=\widehat{ADE}[/imath] (cùng phụ với [imath]\widehat{AED}[/imath])

[imath]\widehat{ADE}=\widehat{ACB} (\Delta ADE\sim \Delta ACB)[/imath]

Suy ra [imath]\widehat{MAC}=\widehat{MCA}\Rightarrow \Delta AMC[/imath] cân tại M [imath]\Rightarrow MA=MC[/imath]

Chứng minh tương tự ta có: [imath]MA=MB[/imath]

Suy ra [imath]MA=MB\Rightarrow M[/imath] là trung điểm của AB.

4) Gọi [imath]P,Q[/imath] lần lượt là trung điểm của [imath]BH,HC[/imath]. Tứ giác [imath]DPQE[/imath] là hình gì? (hoặc chứng minh [imath]\Delta DEQ[/imath] là tam giác vuông)

Xét [imath]\Delta ABH[/imath] vuông tại H và [imath]\Delta CBA[/imath] vuông tại A

có [imath]\widehat{ABC}[/imath] chung

[imath]\Rightarrow \Delta ABH\sim \Delta CBA[/imath]

[imath]\Rightarrow \widehat{BAH}=\widehat{ACB}[/imath]

Mà [imath]\widehat{BAH}=\widehat{DEH}[/imath] (ADHE là hình chữ nhật)

Suy ra [imath]\widehat{DEH}=\widehat{ACB}[/imath]

Xét [imath]\Delta HEC[/imath] vuông tại E có EQ là đường trung tuyến

[imath]\Rightarrow QE=HQ\Rightarrow \Delta EQH[/imath] cân tại Q[imath]\Rightarrow \widehat{QEH}=\widehat{QHE}[/imath]

Ta có: [imath]\widehat{DEQ}=\widehat{DEH}+\widehat{HEQ}=\widehat{ACB}+\widehat{EHQ}=180^\circ-\widehat{HEC}=90^\circ[/imath]

[imath]\Rightarrow DE\bot EQ[/imath]

Chứng minh tương tự ta có: [imath]DP\bot DE[/imath]

Suy ra tứ giác [imath]DPQE[/imath] là hình thang vuông

5) Chứng minh [imath]O[/imath] là trực tâm của [imath]\Delta ABQ[/imath] (hoặc chứng minh [imath]BO\bot AQ)[/imath]

Ta có: [imath]ADHE[/imath] là hình chữ nhật, [imath]O=AH\cap DE[/imath]

[imath]\Rightarrow O[/imath] là trung điểm của [imath]AH,DE[/imath]

Xét [imath]\Delta AHC[/imath] có [imath]O,Q[/imath] lần lượt là trung điểm của [imath]HA,HC[/imath]

[imath]\Rightarrow OQ[/imath] là đường trung bình

[imath]\Rightarrow OQ//AC\Rightarrow OQ\bot AB (AB\bot AC)[/imath]

Mà [imath]AO\bot BQ[/imath]

Suy ra [imath]O[/imath] là trực tâm của [imath]\Delta ABQ[/imath]

6) Chứng minh [imath]S_{ABC}=2S_{DPQE}[/imath]

[imath]\dfrac{S_{EQH}}{S_{EHC}}=\dfrac{QH}{HC}=\dfrac{1}2\Rightarrow S_{EQH}=\dfrac{1}2S_{HEC}[/imath]

Tương tự ta có: [imath]S_{DPH}=\dfrac{1}2S_{DBH}[/imath]

[imath]S_{DHE}=\dfrac{1}2DH.HE=\dfrac{1}2S_{ADHE}[/imath]

[imath]S_{DPQE}=S_{DPH}+S_{DHE}+S_{HED}=\dfrac{1}2S_{DBH}+\dfrac{1}2S_{ADHE}+\dfrac{1}2S_{HEC}=\dfrac{1}2S_{ABC}\Rightarrow S_{ABC}=2S_{DPQE}[/imath]

7) Tam giác ABC cần thêm điều kiện gì để [imath]DE=2EQ[/imath]

[imath]DE=2OE=2EQ\Rightarrow OE=EQ\Rightarrow \Delta OEQ[/imath] vuông cân tại [imath]E[/imath]

[imath]\Rightarrow \widehat{EQO}=45^\circ\Rightarrow \widehat{QEC}=45^\circ (OQ//AC)[/imath]

[imath]\Rightarrow \widehat{ECQ}=45^\circ\Rightarrow \Delta ABC[/imath] vuông cân tại [imath]A[/imath]

Vậy cần thêm điều kiện [imath]AB=AC[/imath] để [imath]DE=2EQ[/imath]

Các bạn còn ý nào liên quan tới mô hình này, hãy trả lời phía dưới này để được giải đáp nhé <3
 
Last edited:
  • Like
Reactions: Only Normal

Alice_www

Mod Toán
Cu li diễn đàn
8 Tháng mười một 2021
1,439
3
1,984
211
Bà Rịa - Vũng Tàu
Bài toán 2: Cho tam giác [imath]ABC[/imath] đều, đường cao [imath]AD[/imath], trực tâm [imath]H[/imath]. [imath]M[/imath] là điểm bất kỳ trên cạnh [imath]BC[/imath]. Gọi [imath]E, F[/imath] thứ tự là hình chiếu của [imath]M[/imath] trên [imath]AB[/imath] và [imath]AC.[/imath] Gọi [imath]I[/imath] là trung điểm của [imath]AM. ID[/imath] cắt [imath]EF[/imath] tại [imath]K.[/imath]
1) [imath]DEIF[/imath] là hình gì?
2) Chứng minh [imath]M,K,H[/imath] thẳng hàng.
3) Xác định vị trí của M trên BC để EF đặt GTNN.
4) Tìm GTNN của [imath]S_{DEIF}[/imath] biết [imath]\Delta ABC[/imath] có cạnh bằng [imath]a[/imath].

5) Tìm quỹ tích điểm K.

1657071869428.png
1) [imath]DEIF[/imath] là hình gì?

Xét [imath]\Delta AEM[/imath] vuông tại [imath]E[/imath] có [imath]EI[/imath] là đường trung tuyến

[imath]\Rightarrow EI=IA=\dfrac{AM}2[/imath]

[imath]\Rightarrow \Delta AEI[/imath] cân tại I [imath]\Rightarrow \widehat{EAI}=\widehat{IEA}[/imath]

[imath]\Rightarrow \widehat{EIM}=\widehat{IAE}+\widehat{IEA}=2\widehat{EAI}[/imath]

Tương tự ta có: [imath]ID=\dfrac{AM}2; \widehat{MID}=2\widehat{MAD}[/imath]

Suy ra [imath]EI=ID=\dfrac{AM}2; \widehat{EID}=\widehat{EIM}+\widehat{MID}=2(\widehat{EAM}+\widehat{MAD})=2\widehat{EAD}=60^\circ[/imath]

[imath]\Rightarrow \Delta IED[/imath] đều [imath]\Rightarrow EI=ED=ID[/imath]

Chứng minh tương tự ta có: [imath]IF=FD=ID[/imath]

Suy ra [imath]EIFD[/imath] là hình thoi

2) Chứng minh [imath]M,K,H[/imath] thẳng hàng.

Gọi P là trung điểm của AH.

Ta có: [imath]\Delta ABC[/imath] đều, [imath]H[/imath] là trực tâm [imath]\Rightarrow H[/imath] là trọng tâm

[imath]\Rightarrow AH=2HD\Rightarrow H[/imath] là trung điểm của PD

Ta có: [imath]EIFD[/imath] là hình thoi [imath]K=ID\cap EF\Rightarrow K[/imath] là trung điểm của [imath]ID,EF[/imath]

Xét [imath]\Delta IDP[/imath] có [imath]K,H[/imath] lần lượt là trung điểm của [imath]ID,DP\Rightarrow IP//KH[/imath]

Xét [imath]\Delta AMH[/imath] có [imath]P,I[/imath] lần lượt là trung điểm của [imath]AH,AM\Rightarrow IP//MH[/imath]

Suy ra [imath]M,K,H[/imath] thẳng hàng.

3) Xác định vị trí của M trên BC để EF đặt GTNN.

[imath]EF=2EK=2ED\sin \widehat{EDK}=\sqrt3ED[/imath]

[imath]EF_{min}\Leftrightarrow ED_{min}\Leftrightarrow ED\bot AB\Leftrightarrow D\equiv M[/imath]

4) Tìm GTNN của [imath]S_{DEIF}[/imath] biết [imath]\Delta ABC[/imath] có cạnh bằng [imath]a[/imath].

[imath]S_{DEIF}=\dfrac{1}2DI.EF=\dfrac{1}2ED.\sqrt3ED=\dfrac{\sqrt3}2ED^2[/imath]

[imath]ED_{min}\Leftrightarrow ED\bot AB[/imath]. Khi đó [imath]\dfrac{1}{ED^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AD^2}\Rightarrow ED^2=\dfrac{3a^2}7[/imath]

Suy ra [imath]S_{DEIF_{min}}= \dfrac{3a^2\sqrt3}{14}[/imath].

5) Tìm quỹ tích điểm K.

Qua I kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB, AC lần lượt tại G,J.

Xét [imath]\Delta ABM[/imath] có [imath]GI//BM, I[/imath] là trung điểm của [imath]AM[/imath]

[imath]\Rightarrow G[/imath] là trung điểm của AB.

Tương tự ta có [imath]J[/imath] là trung điểm của [imath]AC[/imath].

Suy ra [imath]GJ[/imath] là đường trung trực của [imath]\Delta ABC[/imath].

Vậy [imath]I[/imath] có quỹ tích là đường trung trực của [imath]\Delta ABC[/imath].

Tương tự ta có quỹ tính điểm K là đường trung trực của hình thang cân [imath]BGJC[/imath]
 
Last edited:

Alice_www

Mod Toán
Cu li diễn đàn
8 Tháng mười một 2021
1,439
3
1,984
211
Bà Rịa - Vũng Tàu
:Chuothong9Hai bài toán tiếp theo đây các em sẽ dễ gặp trong phần hình vuông nha.

Bài toán 3: Cho tứ giác [imath]ABCD[/imath] có [imath]\widehat{ADC}+\widehat{BCD}=90^\circ[/imath] và [imath]AD=BC[/imath]. Gọi [imath]M,N,P,Q[/imath] lần lượt là trung điểm của [imath]AB,AC,CD,BD[/imath]. Chứng minh rằng tứ giác [imath]MNPQ[/imath] là hình vuông

1659665146885.png
Xét [imath]\Delta ABC[/imath] có [imath]M,N[/imath] lần lượt là trung điểm [imath]AB,BD[/imath]
[imath]\Rightarrow MN[/imath] là đường trung bình

[imath]\Rightarrow MN=\dfrac{1}2BC[/imath]

CMTT ta có: [imath]PQ=\dfrac{1}2BC; MQ=\dfrac{1}2AD; NP=\dfrac{1}2AD[/imath]

Mà [imath]AD=BC[/imath] nên [imath]MN=QP=MQ=NP\Rightarrow MNPQ[/imath] là hình thoi

[imath]\widehat{QPN}=180^\circ -\widehat{QPD}-\widehat{NPC}[/imath]
[imath]=180^\circ-\widehat{BCD}-\widehat{ADC}=90^\circ (PQ//BC; NP//AD)[/imath]

Suy ra [imath]MNPQ[/imath] là hình vuông

Bài toán 4: Cho [imath]\Delta ABC[/imath] có [imath]\widehat{BAC}=45^\circ[/imath]. Vẽ ba đường cao [imath]AD,BE,CF[/imath] cắt nhau tại [imath]H[/imath]. Gọi [imath]M,N,P,Q[/imath] lần lượt là trung điểm của [imath]AB,AC,HB[/imath] và [imath]HC[/imath]. Chứng minh tứ giác [imath]MNPQ[/imath] là hình vuông.

1659664987753.png
Xét [imath]\Delta AEB[/imath] vuông tại E có [imath]\widehat{BAE}=45^\circ[/imath]
[imath]\Rightarrow \Delta AEB[/imath] vuông cân tại [imath]E\Rightarrow AE=EB[/imath]
CMTT ta có [imath]EH=EC[/imath]
Xét [imath]\Delta AEH[/imath] và [imath]\Delta BEC[/imath] cùng vuông tại E có
[imath]AE=BE, EH=EC[/imath]
[imath]\Rightarrow \Delta AEH=\Delta BEC[/imath]
[imath]\Rightarrow AH=BC[/imath]

Xét [imath]\Delta AHB[/imath] có [imath]M,Q[/imath] lần lượt là trung điểm của [imath]AB,BH[/imath]
[imath]\Rightarrow MQ[/imath] là đường trung bình
[imath]\Rightarrow MQ=\dfrac{1}2AH[/imath]
Tương tự ta có [imath]NP=\dfrac{1}2AH; QP=\dfrac{1}2BC;MN=\dfrac{1}2BC[/imath]
Suy ra [imath]MN=NP=QP=MQ[/imath]
Ta có: [imath]QP//BC\Rightarrow QP\bot AD[/imath]
[imath]MQ//AD\Rightarrow MQ\bot QP[/imath]
Suy ra [imath]MNPQ[/imath] là hình vuông
 

Alice_www

Mod Toán
Cu li diễn đàn
8 Tháng mười một 2021
1,439
3
1,984
211
Bà Rịa - Vũng Tàu
Bài toán 5: Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O. M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC (M khác B,C). Tia AM cắt đường thẳng CD tại N. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE=CM.
1) Chứng minh [imath]\Delta OEM[/imath] vuông cân.
2) Chứng minh [imath]ME//BN[/imath]
3) Từ [imath]C[/imath] kẻ [imath]CH\bot BN (H\in BN)[/imath]. Chứng minh rằng ba điểm [imath]O,M,H[/imath] thẳng hàng.

1661694476277.png
1) Chứng minh [imath]\Delta OEM[/imath] vuông cân.

Xét [imath]\Delta BEO[/imath] và [imath]\Delta CMO[/imath] có

[imath]BO=CO; \widehat{EBO}=\widehat{OMC} (ABCD[/imath] là hình vuông);[imath]BE=CM[/imath]

[imath]\Rightarrow \Delta BEO=\Delta CMO[/imath]

[imath]\Rightarrow OE=OM; \widehat{EOB}=\widehat{COM}[/imath]

[imath]\widehat{EOM}=\widehat{EOB}+\widehat{BOM}=\widehat{MOC}+\widehat{BOM}=\widehat{BOC}=90^\circ[/imath]

Suy ra [imath]\Delta OEM[/imath] vuông cân tại O

2) Chứng minh [imath]ME//BN[/imath]

[imath]AB=AE+EB; BC=BM+MC\Rightarrow AE=BM[/imath]

[imath]AB//CM\Rightarrow \dfrac{AM}{MN}=\dfrac{BM}{MC}=\dfrac{AE}{EB}\Rightarrow ME//BN[/imath]

3) Từ [imath]C[/imath] kẻ [imath]CH\bot BN (H\in BN)[/imath]. Chứng minh rằng ba điểm [imath]O,M,H[/imath] thẳng hàng.

Chú ý: Khi chứng minh 3 điểm thẳng hàng, ngoài cách CM trực tiếp, ta có thể gọi 1 điểm khác cho nó thẳng hàng rồi chứng minh điều kiện đề bài cho, suy ra hai điểm trùng nhau. Từ đó suy ra được ba điểm thẳng hàng.


Gọi H' là giao điểm của OM và BN

[imath]EM//BN\Rightarrow \widehat{OME}=\widehat{MH'B}=45^\circ[/imath]

Xét [imath]\Delta BMH'[/imath] và [imath]\Delta OMC[/imath] có

[imath]\widehat{BH'M}=\widehat{OCM}=45^\circ; \widehat{BMH'}=\widehat{OMC}[/imath] (đối đỉnh)

[imath]\Rightarrow \Delta BMH'\sim \Delta OMC[/imath]

[imath]\Rightarrow \dfrac{BM}{OM}=\dfrac{MH'}{MC}\Rightarrow \dfrac{BM}{MH'}=\dfrac{OM}{MC}[/imath]

[imath]\Rightarrow \Delta BMO\sim \Delta H'MC[/imath]

[imath]\Rightarrow \widehat{MH'C}=\widehat{OBM}=45^\circ[/imath]

[imath]\widehat{BH'C}=\widehat{BH'M}+\widehat{MH'C}=45^\circ+45^\circ=90^\circ[/imath]

[imath]\Rightarrow BN\bot CH'\Rightarrow H'\equiv H\Rightarrow O,M,H[/imath] thẳng hàng
 
Top Bottom