Tổng hợp các bài tập chuyên đề phương trình nghiệm nguyên

katorichan · 8 Tháng tám 2013

Phương trình với tập Z
1/ 19x^3-17y^3=50
2/ 5x^3+11y^3+13z^3=0
3/ x^2=y^3+16
4/ xy-2y-3x+x^3=3
5/ 5(x^2+xy+y^2)=7(x+2y)
6/ x^3-y^3-xy=15
7/ x^2+xy+y^2=x+y
8/ 1+x+x^2+x^3=y^3
9/ x^3+y^3=(x+y)^2
10/ y^3-x^3=2x+1
11/ x^4+x^2+4=y^2-y
12/ 6(6x^2+3y^2+z^2)=5t^2
13/ x^2+xy+y^2=2x+y
14/ x^2y^2=z^2(z^2-x^2-y^2)
15/ n^4+2n^3+2n^2+2n+1=y^2
16/ y^3z^2+(y^3-2xy)z+x(x-y)=0
17/ 2(x+y+z)+9=3xyz
18/ x^4+(x+1)^4=y^2+(y+1)^2
19/ y^3=x^3+2x^2+1
20/ x^4-2y^2=1
Tập N
21/ xyz=2(x+y+z)
22/ x1+x2+...+x12=x1.x2...x12
23/ x^n+x^2n=y^2n
24/ x^3+n^3=y^3
25/ x^2+y^2=2011(10-z)
26/ 2^n+12^2=z^2-9

Mong các bạn nhiệt tình giúp đỡ, xin cảm tạ!!!
:khi (15)::khi (67)::khi (105):

diendantoanhocvn · 2 Tháng tám 2014

đ6+7

Các sô nguyên mũ 3 chia 7 du 0,1,-1
1.
theo pt đồng dủ thì
[TEX]5x^3-3y^3[/TEX] đồng du 1 (mod 7)
vô lí pt vô nghiệm

thaolovely1412 · 2 Tháng tám 2014

đội 4

Câu 17
Không mất tính tổng quát giả sử [TEX]1\leq x \leq y \leq z[/TEX] (1)
ta có[TEX] \frac{2}{3}( \frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx} ) + \frac{3}{xyz} = 1[/TEX] (2)
từ (1) và(2) [TEX]\Rightarrow 1 \leq \frac{2}{3}( \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2} ) + \frac{3}{x^3}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 1 \leq \frac{2}{x^2}+ \frac{3}{x^3}[/TEX] (3)
nếu [TEX]x \geq 2 \Rightarrow \frac{2}{x^2} \leq \frac{1}{2} va \frac{3}{x^3} \leq \frac{3}{8}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \frac{2}{x^2}+ \frac{3}{x^3} \leq \frac{1}{2}+\frac{3}{8}=\frac{7}{8} <1 [/TEX]
mâu thuẫn với (1) \Rightarrow [TEX]x=1 [/TEX]
[TEX]2( y + z)+11=3yz \Leftrightarrow \frac{2}{3}( \frac{1}{y}+\frac{1}{z} ) + \frac{11}{yz} =1[/TEX] (4)
nếu y \geq 3
Kết hợp (1) và (4) có [TEX]1 \leq \frac{4}{3y}+\frac{11}{3y^2} \leq \frac{4}{9}+\frac{11}{27} [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 1 \leq \frac{23}{27} [/TEX]
Vô lí [TEX]\Rightarrow y=1[/TEX] hoặc [TEX]y=2 [/TEX]
+[TEX] y=1 \Rightarrow 2(2+z)+9=3z \Rightarrow z=13 [/TEX]
+ [TEX]y=2 \Rightarrow 2(3+z)+9=6z \Rightarrow z=\frac{15}{4}[/TEX](loai)
Vậy.............

thaolovely1412 · 2 Tháng tám 2014

đội 4

Câu 8
Xét khoảng giá trị x>0 hoặc x<-1 ta có:
[TEX]x^{3}< x^{3}+x^{2}+x+1< (x+1)^{3}\Rightarrow x^{3}< y^{3}< (x+1)^{3}[/TEX] (KTM)
\Rightarrow[TEX] -1 \leq x \leq 0[/TEX]
Mà [TEX]x \in Z[/TEX] nên x=0 hoặc x=-1
* Với x=-1 ta có: y=0
* Với x=0 ta có: y=1

letsmile519 · 2 Tháng tám 2014

Đội 4

21,

chia 2 vế với xyz

$1=\frac{2}{xy}+\frac{2}{yz}+\frac{2}{zx}$

giả sử xy\leqyz\leqzx

\Rightarrow $\frac{2}{xy}$\geq $\frac{2}{yz}$\geq$\frac{2}{zx}$

\Rightarrow $1$\leq$\frac{2}{xy}$

\Rightarrow $xy$\leq2

từ đó xét x=1;y=2 hoặc x=2;y=1 và thay vào tính z

22.

Chia $x_1.x_2...x_{12}$ cho 2 được :

$1=\frac{1}{x_2...x_{12}}+\frac{1}{x_1.x_3...x_{12}}+...+\frac{1}{x_1.x_2.x_3...x_{11}}$

Gỉa sử $x_1$\geq$x_2$...\geq $x_{12}$

-> $\frac{1}{x_2...x_{12}}$\geq $\frac{1}{x_1.x_3...x_{12}}$\geq $\frac{1}{x_1.x_2.x_3...x_{11}}$

\Rightarrow $1$\leq $\frac{12}{x_2...x_{12}}$

\Rightarrow $x_2...x_{12}$\leq12=2.2.3=4.3

vì giả sử nên $x_{12}=x_{11}=...=x_5=1$ và $x_4=2=x_3$ $x_2=3$ -> tìm được $x_1$

hoặc $x_{12}=x_{11}=...=x_5=x_4=1$ $x_3=3$ $x_2=4$ -> tìm được $x_1$

diendantoanhocvn · 2 Tháng tám 2014

đ6+7

19.
[TEX]y^3>x^3[/TEX] nên y>x
nếu x=1 vvoo lí
nên [TEX]y^3<(x+1)^3[/TEX] tức y<x+1
Vậy pt vô nghiêm

diendantoanhocvn · 2 Tháng tám 2014

đ 6+7

23
[TEX]y^{2n}>x{2n}[/TEX] tức y>x
thêm vào pt cho phù hợp thì
[TEX]y^{2n}<(x^n+1)^2[/TEX] tức y^n<x^n+1
pt vô nghiệm

thaolovely1412 · 2 Tháng tám 2014

đội 4

10.
Pt đã cho [TEX]\Leftrightarrow y^3=x^3+2x+1[/TEX]
-với x > 0:
[TEX]\Rightarrow x^3 < x^3 +2x +1 < x^3+3x^2+3x+1 \Leftrightarrow x^3 < y^3 < (x+1)^3 [/TEX](không có giá trị x,y nguyên nào thỏa mãn)
- với x < -1. Lúc đó thì:
[TEX]2x+1 < -1 < 0 \Rightarrow x^3+2x+1 < x^3[/TEX] (1)
[TEX]x < -1 \Rightarrow x^2 > 1 [/TEX]
[TEX]\Rightarrow -3x^2 + x -1 < -5 [/TEX]
[TEX]\Rightarrow x^3-3x^2+3x-1< x^3+2x-5< x^3+2x + 2 [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (x-1)^3 < x^3+2x+2 (2)[/TEX].
từ (1) và (2) [TEX]\Rightarrow (x-1)^3 < x^3+2x+1 < x^3 \Leftrightarrow (x-1)^3 < y^3 < x^3[/TEX] (không có x,y nguyên thỏa mãn).
\Rightarrow x=-1 hoặc x=0. Thay x=-1 và x=0 vào tìm y.
Thấy cặp nghiệm (x;y)=(0;1) thỏa mãn PT.

thaolovely1412 · 2 Tháng tám 2014

đội 4

15.
[TEX]y^2= n^4+2n^3+2n^2+2n+1=(n^2+1)(n+1)^2[/TEX]
\Rightarrow [TEX]n^2+1[/TEX] phải là số chính phương
\Rightarrow[TEX] n^2+1=k^2\Leftrightarrow 1=(k-n)(k+n)\Leftrightarrow n=0[/TEX]
Vậy nghiệm phương trình là (n;y)=(0;1);(0;-1)

huy14112 · 3 Tháng tám 2014

đội 2

B21 có vẻ đội 4 làm sai .

Đội 2:

Giả sử $x \ge y \ge z $

$\rightarrow 2(x+y+z) \le 6x $

$\leftrightarrow yz \le 6$

$ \rightarrow z^2 \le 6$

$\rightarrow z $thuộc $ {0;1;2}$

_Với z = 0 dễ dàng chứng minh được $ x=y=0$

$z=1 \rightarrow y \le 6 $ Thay lần lượt các giá trị của y ta sẽ tìm được kết quả
$z=2 \rightarrow y \le 3$

Ta cũng thay như trên.

thaolovely1412 · 3 Tháng tám 2014

đội 4

Câu 2
PT đã cho[TEX] \Leftrightarrow 5x^3+11y^3=-13z^3[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 5x^3+11y^3 \vdots 13[/TEX]
[TEX]\Rightarrow x,y \vdots 13[/TEX]
[TEX]\Rightarrow z\vdots 13[/TEX]
Sử dụng phương pháp lùi vô hạn để giải là ra

thaolovely1412 · 3 Tháng tám 2014

đội 4

Câu 5
Đặt[TEX] x+2y=5m (1); x^2+xy+y^2=7m(2) [/TEX]
Thay vào pt đã cho rồi rút gọn ta được:
[TEX]3y^2-15my+(25m^2-7m)=0[/TEX]
[TEX]\Delta =-75m^2+84m[/TEX]
[TEX]\Delta \geq 0\Leftrightarrow 0\leq m\leq \frac{28}{25}[/TEX]
Vì m nguyên nên m =1 hoặc m=0
Thay vào ta được các nghiệm là (0;0),(1;2),(-1;3)

thaolovely1412 · 3 Tháng tám 2014

đội 4

Câu 12
[TEX]6(6x^2+3y^2+z^2)=5t^2 \Rightarrow t \vdots 2, t \vdots 3[/TEX]. Đặt[TEX] t=6k[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 6x^2+3y^2+z^2=5.6.k^2 \Rightarrow z \vdots 3 \Rightarrow z=3z'[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 2x^2+y^2+3z'^2=5.2.k^2 (1) [/TEX]
[TEX]\Rightarrow y^2+3z'^2 [/TEX]chẵn
TH1: y,z' chẵn
[TEX]\Rightarrow y=2y',z'=2z'' \Rightarrow x^2+2y'^2+6z''^2=5k^2 [/TEX]
\Rightarrow x,k cùng chẵn hoặc cùng lẻ
+ nếu x,k cùng lẻ [TEX]\Rightarrow 5k^2-x^2\vdots 4[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 2y'^2+6z''^2 \vdots 4[/TEX]
[TEX]\Rightarrow y'^2+3z''^2\vdots 2 [/TEX]
mà t,x lẻ nên [TEX]k^2 \equiv x^2 \equiv 1[/TEX](mod8)
\Rightarrow [TEX]5k^2-x^2 \equiv 4[/TEX](mod8) do đó [TEX]y'^2+3z''^2 \vdots 2[/TEX] mà[TEX] \not\vdots 4 [/TEX]
vô lí với y',z'' cùng chẵn hoặc cùng lẻ, ta luôn có[TEX] y'^2+3z''^2\vdots 4[/TEX] nên loại
\Rightarrow x,t cùng chẵn nên[TEX] x=x',k=k'[/TEX]
Do đó 2x'^2+y'^2+3z''^2=5.2.k'^2 và ta thấy đây lại là dạng của phương trình (1), tiếp tục lùi vô hạn ta thu được vô nghiệm nếu nghiệm khác nghiệm tầm thường
\Rightarrow chi có nghiệm tầm thường [TEX]x=y=z=0[/TEX]
TH2: y,z' lẻ
\Rightarrow [TEX]y^2+3z'^2 \equiv 4[/TEX](mod8)
\Rightarrow[TEX] 2(5k^2-x^2) \vdots 4[/TEX]
\Rightarrow [TEX]5k^2-x^2\vdots 2 [/TEX]
nhưng khi ấy k,x cùng chẵn hoặc cùng lẻ nên [TEX]5t^2-x^2 \vdots 4 [/TEX]
\Rightarrow [TEX]2(5k^2-x^2)\vdots 8[/TEX]
\Rightarrow [TEX]y^2+3z'^2 \vdots 8 [/TEX]
mâu thuẫn với[TEX] y^2+3z'^2 \equiv 4[/TEX](mod8)
Vậy (x,y,z)=(0,0,0)

thaolovely1412 · 3 Tháng tám 2014

đội 4

Câu 20
[TEX]x^{4}=2y^{2}+1\Rightarrow (2y)^{2}< 4x^{4}=4y^{2}+4<4y^{2}+4y+1=(2y+1)^{2}[/TEX]
Giữa hai số chính phương liên tiếp không tồn tại số chính phương nào khác
\Rightarrow Vô nghiệm

demon311 · 3 Tháng tám 2014

ĐỘI 6+7

Ta có:
$x^2=y^3+16 \\
\leftrightarrow (x-4)(x+4)=y^3$

Vì $y \in \mathbb{Z} $ nên $y^2 \ge y$
Lại có $x+4 > x-4$
Nên:

$\begin{cases}
x+4=y^2 \\
x-4=y
\end{cases} \\
\rightarrow y^2-4=y+4 \\
\leftrightarrow y^2-y-8=0$
Phương trình trên không có nghiệm nguyên nên phương trình ban đầu không có nghiệm nguyen

Tìm kiếm

Tìm kiếm

Tổng hợp các bài tập chuyên đề phương trình nghiệm nguyên

katorichan

diendantoanhocvn

thaolovely1412

thaolovely1412

letsmile519

diendantoanhocvn

diendantoanhocvn

thaolovely1412

thaolovely1412

huy14112

thaolovely1412

thaolovely1412

thaolovely1412

thaolovely1412

demon311