[Tổng hợp 9] Nghiệm của phương trình bậc 2

[katoriitto]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Cho phương trình [TEX]ax^2 + bx + c =0[/TEX] (1) và [TEX]cx^2 + bx + a = 0[/TEX] (2). Biết phương trình (1) có nghiệm dương m. CMR: phương trình (2) có nghiệm là n thỏa : m + n \geq 2.

Bài 2: Cho phương trình [TEX] x^2 - px + q =0[/TEX] ( với p,q là số nguyên tố). Biết phương trình có 2 nghiệm nguyên dương phân biệt. CMR: [TEX]p^2 + q^2[/TEX] là 1 số nguyên tố.

Bài 3: Cho phương trình [TEX]mx^2 + px + q=0 ( m \neq 0) [/TEX] có 2 nghiệm nguyên dương [TEX]x_1; x_2[/TEX]. CMR:
a) Phương trình : [TEX]qx^2 + px + m =0[/TEX] cũng có 2 nghiệm nguyên dương [TEX]x_3 ;x_4[/TEX]
b) [TEX]x_1 + x_2 + x_3 + x_4 \geq 4[/TEX]

Bài 4: Cho phương trình [TEX] ax^2 + bx + c =0 ( a \neq 0)[/TEX] có 2 nghiệm [TEX]x_1 ; x_2[/TEX]. Đặt [TEX]S_n = {x_1}^n + {x_2}^n[/TEX]. CMR: [TEX]a.S_{n+2} + b.S_{n+1} + c.S_n[/TEX].
Áp dụng cho [TEX]x_1 ; x_2[/TEX] là 2 nghiệm của phương trình [TEX]x^2 - 4x + 1=0[/TEX]. CMR: [TEX]S_n = {x_1}^n + {x_2}^n[/TEX] là số nguyên [TEX]\not\vdots 5[/TEX].

Bài 5: Tìm tất cả số tự nhiên m,n sao cho các nghiệm của phương trình [TEX]x^2 - m(n+1).x + m + n + 1 =0[/TEX] cũng là các sô tự nhiên.

 

[eye_smile]

Bài 3: Đề bài này chỉ có nghiệm dương thôi thì phải, k phải nghiệm nguyên dương
a, PT $m{x^2}+px+q=0$ (m khác 0) có 2 nghiệm dương phân biệt
\Rightarrow $\Delta_1={p^2}-4mq$ \geq 0
$x_1+x_2=\dfrac{a=-p}{m}>0$ ---->p;m trái dấu
$x_1.x_2=\dfrac{q}{m}>0$ ----->q;m cùng dấu
\Rightarrow p;q trái dấu
Xét PT (2), có:
$\Delta_2={p^2}-4mq$ \geq 0 nên PT(2) có 2 nghiệm
Lại có: $x_3+x_4=\dfrac{-p}{q}>0$ (do p; q trái dấu)
$x_3.x_4=\dfrac{m}{q}>0$ (Do $\dfrac{q}{m}>0$)
---->PT(2) có 2 nghiệm dương

 

[eye_smile]

3b,Ta có:
$x_1+x_2+x_3+x_4=\dfrac{-p}{m}+\dfrac{-p}{q}$ \geq $2\sqrt{\dfrac{-p}{m}.\dfrac{-p}{q}}=2.\dfrac{|p|}{\sqrt{qm}}$
Lại có: ${p^2}$ \geq 4mq
\Rightarrow |p| \geq $2\sqrt{mq}$
\Rightarrow $\dfrac{|p|}{\sqrt{mq}}$ \geq 2
\Rightarrow đpcm
Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow m=q;p=-2m

 

[eye_smile]

B5:Theo Vi-et, ta có:
$x_1.x_2=m+n+1$
$x_1+x_2=m(n+1)$
Trừ theo vế, được:
$x_1.x_2-x_1-x_2=m+n+1-mn-m=m+1-mn$
\Leftrightarrow $(x_1-1)(x_2-1)+n(m-1)=2$
Do $x_1;x_2;m;n$ đều là số tự nhiên và $(x_1-1)(x_2-1)$ \geq 0 nên
+/$(x_1-1)(x_2-1)=0$; $n(m-1)=2$
+/ $(x_1-1)(x_2-1)=1$; $n(m-1)=1$
+/$(x_1-1)(x_2-1)=2$; $n(m-1)=0$
Giải ra tìm m;n