Toán 9 Tồn tại vô hạn số nguyên tố có dạng 3x - 1

[nguyenduykhanhxt]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

CM: Tồn tại vô hạn số nguyên tố có dạng 3x - 1 @Mộc Nhãn, @TranPhuong27

 

[7 1 2 5]

Giả sử có hữu hạn số nguyên tố dạng 3k - 1.
Gọi các số đó là [tex]p_1 < p_2 < ... < p_n[/tex]
Xét [tex]A=3p_1p_2....p_n-1[/tex]. A cũng có dạng 3k - 1.
Giả sử A là hợp số.
Ta thấy: A phải có ước nguyên tố dạng 3k - 1(thật vậy nếu A chỉ có ước nguyên tố dạng 3k + 1 thì A cũng chia 3 dư 1)
Từ đó A chia hết cho 1 trong các số [TEX]p_1,p_2,...,p_n[/TEX](giả sử là [TEX]p_i[/TEX]). Mà [TEX]A=3p_1p_2....p_n-1 [/TEX] nên [TEX]1 \vdots p_i[/TEX](vô lí)
Vậy A là số nguyên tố. Mà A > [TEX]p_n[/TEX] nên điều giả sử sai hay đpcm.

 

[Lê Tự Đông]

Cách khác, anh tham khảo
Giả sử tồn tại hữu hạn các sô nguyên tố có dạng 3k-1 là $p_{1},p_{2},........p_{n}$
Xét $P = (p_{1}p_{2}..........p_{n})^{2} + 1$
P khác các số $p_{1},p_{2},........p_{n}$ nên P hợp số => P có ước nguyên tố p
Do không có số nào trong $p_{1},p_{2},........p_{n}$ chia hết cho 3 nên $(p_{1}p_{2}..........p_{n})^{2}$ chia 3 dư 1
=> $P = (p_{1}p_{2}..........p_{n})^{2} + 1$ có ước nguyên tố dạng 3k-1
=> p thuộc {$p_{1},p_{2},........p_{n}$}
Suy ra p là ước của 1 (Do p là ước của P) nên p=1 (vô lý)
Vậy.....