Tồn tại hay không số tự nhiên n thỏa mãn $n^2+2^n$ chia hết cho $2p$

[thinhrost1]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho số nguyên tố p có dạng $p=4k+1$, $k \in N^*$. Tồn tại hay không số tự nhiên n thỏa mãn $n^2+2^n$ chia hết cho 2p?

 

[forum_]

k=1 => p =5 , t/m p nguyên tố

=> 2p = 10

Với n = 6 => $n^2+2^n=100$ chia hết cho 2p = 10

Vậy tồn tại n để $n^2+2^n$ chia hết cho 2p, với p = 4k+1 (p nguyên tố; k thuộc N*)

p/s: đề ra là tồn tại hay ko nên chúng ta chỉ cần chỉ ra 1 ví dụ là đc

 

[macarongno.1]

Cách làm tổng quát hơn

k=1 => p =5 , t/m p nguyên tố

=> 2p = 10

Với n = 6 => $n^2+2^n=100$ chia hết cho 2p = 10

Vậy tồn tại n để $n^2+2^n$ chia hết cho 2p, với p = 4k+1 (p nguyên tố; k thuộc N*)

p/s: đề ra là tồn tại hay ko nên chúng ta chỉ cần chỉ ra 1 ví dụ là đc

TKC, NKM

Giải

Ta có:

$4k\equiv -1(modp)$

$4k-1 \equiv -2 (modp)$

Suy ra:

$(4k)! \equiv [(2k)!]^2 (mod p)$

Theo định lý wilson kết hợp với định lý Fecma nhỏ ta có:

Với $n=4k(2k)!$ thì:

$2^n-1[2^{(2k)!}]^{4k}-1 \euiv 0 (mod p)$

$ \Rightarrow n^2+2^n=[4k.(2k)!]^2+2^{4k(2k)!} \equiv 0 (modp)$

Từ đây dễ dàng suy ra điều chứng minh do (p,2)=1

Tóm lại, câu trả lời là có vô số n thoả đk chăng hạn n=4k(2k)!