Toán 10 Tồn tại hay không đa thức R(x)

[David Wind]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho 2 số nguyên dương n và m với [imath]0<m \leq n[/imath]. Tồn tại hay không 1 đa thức hệ số nguyên R(x) thỏa:
[imath]P(x)=x^{m}-1[/imath] và [imath]Q(x) = \frac{x^{n+1}-1}{x-1}R(x)[/imath] có các hệ số của bậc tương ứng đồng dư với nhau mod 2

 

[2712-0-3]

Cho 2 số nguyên dương n và m với [imath]0<m \leq n[/imath]. Tồn tại hay không 1 đa thức hệ số nguyên R(x) thỏa:
[imath]P(x)=x^{m}-1[/imath] và [imath]Q(x) = \frac{x^{n+1}-1}{x-1}R(x)[/imath] có các hệ số của bậc tương ứng đồng dư với nhau mod 2

David WindGiả sử tồn tại R(x) thỏa mãn.
Ta có: [imath]Q(x) = (x^n+x^{n-1} + \cdots +1 ) R(x)[/imath]
Dễ thấy [imath]R(x)[/imath] có hệ số tự do là lẻ.
Giả sử tồn tại bậc [imath]i \geq 1[/imath] là bậc lớn nhất sao cho hệ số [imath]a_i[/imath] là lẻ.
Xét hệ số bậc [imath]i+n>m[/imath] của [imath]P(x),Q(x)[/imath] theo modun 2 ta có:
[imath]0\equiv a_{i} + a_{i+1} +\cdots (\mod 2)[/imath] trong đó [imath]a_j\equiv 0 (\mod 2)[/imath] kể từ [imath]j\geq i+1[/imath]
[imath]\Rightarrow a_{i}\equiv 0 (\mod 2)[/imath] (vô lý).
Vậy [imath]R(x)[/imath] có duy nhất hệ số tự do là lẻ (đặt là [imath]a_0[/imath]), và hệ số bậc 1 là [imath]a_1[/imath].
Xét hệ số bậc nhất của [imath]P(x)[/imath] và [imath]Q(x)[/imath] theo modun 2, ta có:
[imath]a_1 + a_0 \equiv 0 (\mod 2)[/imath] mà [imath]a_0[/imath] lẻ
Suy ra [imath]a_1\equiv 1(\mod 2)[/imath] (trái với điều vừa chứng minh).
Vậy không tồn tại R(x) thỏa mãn.
Ngoài ra mời bạn tham khảo tại:
[Lý thuyết] Chuyên đề HSG: Số học
[Bài tập] Chuyên đề HSG: Số học