Giả sử a và b không nguyên tố cùng nhau. Gọi p là 1 ước nguyên tố của a và b.
Khi đó [tex]a+b \vdots p \Rightarrow a+b \vdots p^2[/tex]
Đặt [tex]a=mp,b=np[/tex]. Giả sử [tex]16a-9b[/tex] nguyên tố.
Khi đó [tex]16a-9b=p(16m-9n)=p\Rightarrow 16m-9n=1\Rightarrow \left\{\begin{matrix} m=9k+4\\ n=16k+7 \end{matrix}\right.\Rightarrow ab=mnp^2=(9k+4)(16k+7)p^2[/tex] là số chính phương [tex]\Rightarrow (16k+7)(9k+4)[/tex] là số chính phương.
Bước này bạn chỉ cần đặt [tex](16k+7)(9k+4)=t^2[/tex] rồi biến đổi như phương trình nghiệm nguyên.
Nếu a và b nguyên tố cùng nhau thì a và b là số chính phương. Đặt [tex]a=s^2,b=r^2\Rightarrow 16a-9b=(4s-3r)(4s+3r)[/tex]
Để 16a-9b là số nguyên tố thì [tex]4s-3r=1,4s+3r[/tex] là số nguyên tố.
Vì [tex]s^2+r^2[/tex] là số chính phương nên tồn tại 2 số x,y thỏa mãn [tex]s=2xy,r=x^2-y^2 hoặc s=x^2-y^2,r=2xy[/tex]
Thay vào [tex]4s+3r[/tex] ta luôn phân tích được thành nhân tử. Tới đó nhờ bạn làm tiếp.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
