Toán9 (HSG)

[crazyfick1]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Tìm tất cả nghiệm nguyên của phương trình : 7x+4y=100
2. Với 3 số không âm CM bdt: [TEX]a+b+c\geq\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}[/TEX]
3. Cho 2 biểu thức không âm. CM :[TEX]\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}[/TEX]:khi (76)::khi (76):

 

[vipboycodon]

2. Áp dụng bdt cô-si ta có:
$a+b \ge 2\sqrt{ab}$
$b+c \ge 2\sqrt{bc}$
$a+c \ge 2\sqrt{ac}$
Cộng vế với vế ta có:
$2(a+b+c) \ge 2(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})$
<=> $a+b+c \ge \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$
Dấu "=" xảy ra khi $a = b = c$.

 

[lamdetien36]

Bài 1:
$7x + 4y = 100$
$<=> y = \dfrac{100 - 7x}{4}$
$<=> y = 25 - \dfrac{7x}{4}$
$y \in \mathbb{Z} <=> \dfrac{7x}{4} \in \mathbb{Z}$
Suy ra 7x chia hết cho 4 ==> x chia hết cho 4.
Do đó $x = 4k (k \in \mathbb{Z})$
Suy ra $y = 25 - \dfrac{7.4k}{4} = 25 - 7k$
Vậy các nghiệm nguyên của phương trình đã cho có dạng (4k, 25 - 7k) (với $k \in \mathbb{Z}$)
Bài 2:
Ta có:
$2(a + b + c - \sqrt{ab} - \sqrt{bc} - \sqrt{ca})$
$=(a - 2\sqrt{ab} + b) + (b - 2\sqrt{bc} + c) + (c - 2\sqrt{ca} + a)$
$=(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 + (\sqrt{b} - \sqrt{c})^2 + (\sqrt{c} - \sqrt{a})^2 >= 0$
Suy ra
$2(a + b + c - \sqrt{ab} - \sqrt{bc} - \sqrt{ca}) >= 0$
$<=>a + b + c - \sqrt{ab} - \sqrt{bc} - \sqrt{ca} >= 0$
$<=>a + b + c >= \sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca}$
Bài 3:
$\dfrac{a + b}{2} - \sqrt{ab} = \dfrac{1}{2}(a + b - 2\sqrt{ab}) = \dfrac{1}{2}(\sqrt(a) - \sqrt(b))^2 >= 0$
Suy ra $\dfrac{a + b}{2} >= \sqrt{ab}$
Dấu = xảy ra khi $a = b$

 

[vipboycodon]

c. $\dfrac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$
<=> $a+b \ge 2\sqrt{ab}$
<=> $a-2\sqrt{ab}+b \ge 0$
<=> $(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 \ge 0$ (đúng)
Dấu "=" xảy ra khi $a = b$.

 

[congchuaanhsang]

2, Xét $a+b+c-\sqrt{ab}-\sqrt{bc}-\sqrt{ac}$

=$\dfrac{1}{2}(2a+2b+2c-2\sqrt{ab}-2\sqrt{bc}-2\sqrt{ac})$

=$\dfrac{1}{2}[(a-2\sqrt{ab}+b)+(b-2\sqrt{bc}+c)+(c-2\sqrt{ca}+a)]$

=$\dfrac{1}{2}[(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2+(\sqrt{b}-\sqrt{c})^2+\sqrt{c}-\sqrt{a})^2]$\geq0

\Rightarrowđpcm

 

[congchuaanhsang]

Nghiệm của bài 1 là nghiệm tổng quát
$7x+4y=100$
100 chia hết cho 4 ; 4y chia hết cho 4
nên để phương trình có nghiệm thì 7x phải chia hết cho 4
Mà (7,4)=1\Rightarrowx chia hết cho 4
Do đó đặt x=4k (k $\in$Z)
Thay vào phương trình đã cho:
$7.4k+4y=100$\Leftrightarrow$7k+y=25$ \Leftrightarrow $y=25-7k$
Vậy nghiệm của phương trình x=4k ; y=25-7k với k$\in$Z

 

[lamdetien36]

Nghiệm của bài 1 là nghiệm tổng quát
$7x+4y=100$
100 chia hết cho 4 ; 4y chia hết cho 4
nên để phương trình có nghiệm thì 7x phải chia hết cho 4
Mà (7,4)=1\Rightarrowx chia hết cho 4
Do đó đặt x=4k (k $\in$Z)
Thay vào phương trình đã cho:
$7.4k+4y=100$\Leftrightarrow$7k+y=25$ \Leftrightarrow $y=25-7k$
Vậy nghiệm của phương trình x=4k ; y=25-7k với k$\in$Z

Có ai giải thích cho bạn ấy k là cái gì đi :| Bạn ấy cứ pm mình mãi :|