[Toán9] Chứng minh

[haiyen621]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho các số thực x, y, z thoả mãn

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+2011}+\sqrt{y+2012}+\sqrt{z+2013}=\sqrt{y+2011}+\sqrt{z+2012}+\sqrt{x+2013}\\ \sqrt{y+2011}+\sqrt{z+2012}+\sqrt{x+2013}=\sqrt{z+2011}+\sqrt{x+2012}+\sqrt{y+2013} \end{matrix}\right.$

Chứng minh x=y=z
(Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT Chuyên Đại học Sư Phạm - ĐHQGHN)

 

[lp_qt]

PT (1) $\Longleftrightarrow (\sqrt{x+2013}-\sqrt{x+2012})+(\sqrt{x+2012}-\sqrt{x+2011})=(\sqrt{y+2012}-\sqrt{y+2011})+(\sqrt{z+2013}-\sqrt{z+2012})$

$\Longleftrightarrow \dfrac{1}{\sqrt{x+2012}+\sqrt{x+2011}}+\dfrac{1}{\sqrt{x+2013}+\sqrt{x+2012}}= \dfrac{1}{\sqrt{y+2012}+\sqrt{y+2011}}+\dfrac{1}{\sqrt{z+2013}+\sqrt{z+2012}}$

Giả sử: $x\ge y;x\ge z$, ta có:
$\dfrac{1}{\sqrt{x+2012}+\sqrt{x+2011}}\le \dfrac{1}{\sqrt{y+2012}+\sqrt{y+2011}}$

$\dfrac{1}{\sqrt{x+2013}+\sqrt{x+2012}}\le \dfrac{1}{\sqrt{z+2013}+\sqrt{z+2012}}$

$\Longrightarrow \dfrac{1}{\sqrt{x+2012}+\sqrt{x+2011}}+\dfrac{1}{\sqrt{x+2013}+\sqrt{x+2012}}\le \dfrac{1}{\sqrt{y+2012}+\sqrt{y+2011}}+\dfrac{1}{\sqrt{z+2013}+\sqrt{z+2012}}$

Mà $\dfrac{1}{\sqrt{x+2012}+\sqrt{x+2011}}+\dfrac{1}{\sqrt{x+2013}+\sqrt{x+2012}}= \dfrac{1}{\sqrt{y+2012}+\sqrt{y+2011}}+\dfrac{1}{ \sqrt{z+2013}+\sqrt{z+2012}}$

$\Longrightarrow x=y=z$. Vậy $x=y=z$

Nguồn: VMF