toán8] đề học sinh giỏi

T

thongoc_97977

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Câu1: Chứng minh rằng $x^{3m+2}+x^{3n+1}+1 \vdots x^2+x+1$ với mọi số tự nhiên $m,n$

Câu 2: Cho ba số dương $a,b,c$ thỏa mãn $abc=2006$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A=\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}$ (áp dụng phần cực trị)

Câu 3: Cho tam giác ABC cạnh a,điểm M di chuyển trên cạnh BC .Qua M vẽ các đuờng thẳng vuông góc với các cạnh AB,AC của tam giác,chúng cắt cạnh AB tại D,cắt AC tại E.Xác địnhvị trí của M sao cho diện tích tam giác MDE lớn nhất( áp dụng cực trị hình học)
 
Last edited by a moderator:
M

maikhaiok

thongoc_97977 said:
Câu1: Chứng minh rằng $x^{3m+2}+x^{3n+1}+1 \vdots x^2+x+1$ với mọi số tự nhiên $m,n$

Câu 2: Cho ba số dương $a,b,c$ thỏa mãn $abc=2006$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A=\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}$ (áp dụng phần cực trị)

Câu 3: Cho tam giác ABC cạnh a,điểm M di chuyển trên cạnh BC ,AC của tam giác,chúng cắt cạnh AB tại D,cắt AC tại E.Xác địnhvị trí của M sao cho diện tích tam giác MDE lớn nhất( áp dụng cực trị hình học)
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Câu 2:
[TEX]A=\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}[/TEX]
Ta có:
[TEX]\frac{{{a^2}}}{{b + c}} + \frac{{b + c}}{4} \ge 2\sqrt {\frac{{{a^2}}}{{b + c}}.\frac{{b + c}}{4}} = a[/TEX]
Tương tự:
[TEX]\frac{{{b^2}}}{{c + a}} + \frac{{c + a}}{4} \ge b[/TEX] và [TEX]\frac{{{c^2}}}{{a + b}} + \frac{{a + b}}{4} \ge c[/TEX]

Cộng vế theo vế của 3 BĐT trên ta được:
[TEX] \Rightarrow \frac{{{a^2}}}{{b + c}} + \frac{{b + c}}{4} + \frac{{{b^2}}}{{c + a}} + \frac{{c + a}}{4} + \frac{{{c^2}}}{{a + b}} + \frac{{a + b}}{4} \ge a + b + c[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow \frac{{{a^2}}}{{b + c}} + \frac{{{b^2}}}{{c + a}} + \frac{{{c^2}}}{{a + b}} \ge \frac{{a + b + c}}{2} \ge \frac{{\sqrt[3]{{abc}}}}{2} = \frac{{\sqrt[3]{{2006}}}}{2}[/TEX]

Ta có: [TEX]a + b + c \ge \sqrt[3]{{abc}}[/TEX] theo BĐT cô si cho 3 số

Câu 3: Đề thiếu! Bạn xem lại
 
Last edited by a moderator:
K

kool_boy_98

Giúp bạn nhé!

Câu 1:

Ta có: $x^{3m+2} + x^{3n+1} + 1 $

$= x^{3m+2} - x^2 + x^{3n+1} - x + x^2 + x + 1 $

$= x^2(x^{3n} - 1) + x(x^{3m} - 1) + (x^2 + x + 1)$

Ta thấy $(x^{3m} - 1)$ và $(x^{3n} - 1)$ chia hết cho $(x^3 - 1)$ nên chia hết cho $(x^2+x+1) $

\Rightarrow $dpcm$
 
Last edited by a moderator:
T

thongoc_97977

kool_boy_98 said:
Giúp bạn nhé!

Câu 1:

Ta có: $x^{3m+2} + x^{3n+1} + 1 $

$= x^{3m+2} - x + x^{3n+1} - x^2 + x^2 + x + 1 $

$= x(x^{3n} - 1) + x^2(x^{3m} - 1) + (x^2 + x + 1)$

Ta thấy $(x^{3m} - 1)$ và $(x^{3m} - 1)$ chia hết cho $(x^3 - 1)$ nên chia hết cho $(x^2+x+1) $

\Rightarrow $dpcm$
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

bài của bạn chuẩn đấy nhừng [TEX] x^3n[/TEX]-1 chứ không phải là[TEX]x^3[/TEX]-1 chia hết cho [TEX]x^3-1[/TEX]
 
T

thongoc_97977

maikhaiok: nên sử dụng dt:[tex](A+B+C)(\frac{1}{A}+\frac{1}{B}+\frac{1}{C})\geq 9[/tex]

câu2: trước hết ta chứng minh [tex]\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}[/tex]
Áp dụng kết quả: [tex](A+B+C)(\frac{1}{A}+\frac{1}{B}+\frac{1}{C})\geq 9[/tex](đẳng thức xảy ra khi A=B=C) với A=a+b, B=b+c, C=c+a
ta có:
[tex]2(a+b+c)(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a})\geq 9[/tex]
\Rightarrow [tex]3+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{9}{2}[/tex]
\Rightarrow [tex]\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}[/tex]
\Rightarrow [tex](a+b+c)(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})\geq \frac{3}{2}(a+b+c)[/tex]
\Rightarrow [tex]\frac{a^{2}}{b+c}+a+\frac{b^{2}}{c+a}+b+\frac{c^{2}}{a+b}+c\geq \frac{3}{2}(a+b+c)[/tex]
Do đó: [tex]A\geq \frac{1}{2}(a+b+c)\geq \frac{3\sqrt[3]{abc}}{2}=\frac{3\sqrt[3]{2006}}{2}[/tex]
GTNN của A là [tex]\frac{3\sqrt[3]{2006}}{2}[/tex] khi a=b=c=[tex]\sqrt[3]{2006}[/tex]


câu3: vẽ đường cao AH,ta có AH=h=[tex]\frac{a\sqrt{3}}{2}[/tex] không đổi.Mặc khác:

[tex]S_{ABC}=S_{ABM}+S_{AMC}[/tex] \Rightarrow [tex]\frac{a.h}{2}=\frac{a(MD+ME)}{2}\Rightarrow MD+ME=h[/tex]
Vẽ [tex]EK\perp DM[/tex] thì
[tex]S_{EDM}=\frac{1}{2}EK.DM\leq \frac{1}{2}EM.DM[/tex]
Mà [tex]EM.DM\leq \frac{(EM+DM)^{2}}{4}[/tex] nên suy ra :
[tex]S_{DEM}\leq \frac{1}{8}(EM+DM)^{2}=\frac{1}{8}h^{2}[/tex]
Vậy [tex]S_{DEM}[/tex] lớn nhất là [tex]\frac{1}{8}h^{2}[/tex] khi EM=DM,hay M là trung điểm của BC.

P/S: Tự vẽ hình
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom