[toán8]đại chứng minh

[nhoc_surita]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

THÊM CÂU NÀY NỮA NHA
ĐỀ BÀI: Cm $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{y}$ \geq $\frac{4}{x + y}$ \forall x, y > 0

 

[huynhbachkhoa23]

BDTTD: $(x+y)(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}) \ge 4\;\;\; (1)$

ADBDT Cauchy:
$x+y \ge 2\sqrt{xy}$

$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge \dfrac{2}{\sqrt{xy}}$

Có BDT $a \ge c; b\ge d \leftrightarrow ab \ge cd \;\;\;\; (a,b,c,d > 0)$

$\rightarrow VT_{(1)} \ge 4 \;\;\; \mathfrak{(dpcm)}$

Có thể áp dụng Cauchy-Schwarz dạng Engel vào:

$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} \ge \dfrac{(1+1)^2}{x+y}=\dfrac{4}{x+y}$

 

[ronaldover7]

BDTTD: $(x+y)(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}) \ge 4\;\;\; (1)$

Ta có:$(x+y)(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y})$=$2+\dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{y}$ \geq 4
\Rightarrow dpcm

 

[su10112000a]

mấy chú cứ thích bày vẽ=))
ta có:
$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}$\geq$2\sqrt{\dfrac{1}{xy}}=\dfrac{2}{\sqrt{xy}}$ (1)
ta lại có:
$\dfrac{4}{x+y}$\leq$\dfrac{4}{2\sqrt{xy}}=\dfrac{2}{\sqrt{xy}}$ (2)
từ (1) và (2), suy ra $\mathfrak{dpcm}$

 

[thinhrost1]

Cách khác không cần dùng các BDT khác

$(x+y)(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}) \ge 4 \Leftrightarrow \dfrac{(x+y)^2}{xy}\geq 4 \Leftrightarrow (x+y)^2\geq 4xy \Leftrightarrow (x+y)^2-4xy \geq 0 \Leftrightarrow (x-y)^2\geq 0$ (luôn đúng)

 

[congchuaanhsang]

Mấy ku phức tạp hóa vấn đề )

Luôn có $(a+b)^2$ \geq $4ab$

\Leftrightarrow $\dfrac{a+b}{ab}$ \geq $\dfrac{4}{a+b}$ (do a,b dương)

\Leftrightarrow $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}$ \geq $\dfrac{4}{a+b}$