p1^4+p2^4+...+p31^4 chia hết cho 30\Rightarrowp1^4+p2^4+...+p31^4 chia hết cho 2;3 và 5
Giả sử trong 31 số nguyên tố trên không có số nào chẵn
\Rightarrow p1^4 chia 2 dư 1
P2^4 chia 2 dư 1
......
p31^4 chia 2 dư 1
\Rightarrow p1^4+p2^4+...+p31^4 chia 2 dư 1 ( vô lí vì p1^4+p2^4+...+p31^4 chia hết cho 2)
\Rightarrow điều g/s là sai \Rightarrow có một số chẵn
mà đó là 31 số nguyên tố p1<p2<p3<...<p31
\Rightarrow p1 = 2 (1)
Giả sử không có số nào chia hết cho 3
\Rightarrow p1^4; p2^4; p3^4;...; p31^4 chia 3 dư 1
\Rightarrow p1^4+p2^4+...+p31^4 chia 3 dư 1 ( vô lí vì p1^4+p2^4+...+p31^4 chia hết cho 3)
\Rightarrow điều g/s là sai \Rightarrow có một số chia hết cho 3
Mà mà đó là 31 số nguyên tố p1<p2<p3<...<p31
\Rightarrow p2=3 (2)
Giả sử không có nào chia hết cho 5
\Rightarrow p1^4; p2^4;...; p31^4 chia 5 dư 1( chứng minh giựa vào chữ số tận cùng hoặc đặt dạng 2k+1)
\Rightarrow p1^4+p2^4+...+p31^4 chia 5 dư 1( vô lí vì p1^4+p2^4+...+p31^4 chia hết cho 5
\Rightarrow điều giả sử là sai
\Rightarrow có một số chia hết cho 5
mà đó là 31 số nguyên tố p1<p2<p3<...<p31
\Rightarrow p3=5 (3)
Từ (1),(2),(3) \Rightarrow đpcm
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
