Toán12: ứng dụng đạo hàm trong trong bài toán giải pt ; bpt có tham số

[silvery21]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

ứng dụng đạo hàm trong trong bài toán giải pt ; bpt có tham số


​

Dạng toán mà chúng ta thương` hay gặp (như xác định tham số để phương trình có nghiệm, có k nghiệm, nghiệm đúng với mọi x thuộc tập D nào đó… )
p/s: mấy năm gần đêy đề ĐH cũng phổ biến dạng này



​

Dưới đêy là 1 vài lý thuyết + VD + bài tập

 

[silvery21]

Dạng 1: Tìm điều kiện của tham số để phương trình [TEX]f(x)=g(m)[/TEX] có nghiệm trên D

Phương pháp:

Dựa vào tính chất phương trình có nghiệm \Leftrightarrow hai đồ thị của hai hàm số y=f(x) và y= g(m) cắt nhau. Do đó để giải bài toán này ta tiến hành theo các bước sau:
1) Lập bảng biến thiên của hàm số .
2) Dựa vào bảng biến thiên ta xác định m để đường thẳng y= g(m) cắt đồ thị hàm số y=f(x) .

Ví dụ 1: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm

[TEX]\sqrt[4]{x^2+1}-\sqrt{x}=m[/TEX]

Hướng dẫn


ĐK: x\geq 0

Xét hàm số [TEX]f(x)=\sqrt[4]{x^2+1}-\sqrt{x}[/TEX] với [TEX]x\in D=[0;+\infty)[/TEX]

Ta có: [TEX]f'(x) = \frac{x}{2\sqrt[4]{(x^2+1)^3}} - \frac{1}{2\sqrt{x}} [/TEX]

[TEX] f'(x)= 0 \Leftrightarrow \frac{x}{2\sqrt[4]{(x^2+1)^3}} - \frac{1}{2\sqrt{x}} =0[/TEX]

giải ra vô nghiệm

f'(x) không đổi dấu trên D. tính f'(1) thì đc f'(1) >0

do đó [TEX]f(x) db / D=[0;+\infty)[/TEX]


Đến đêy vẽ bảng biến thiên ( chú ý tính [TEX]lim f(x) ----khi-- x-->+\infty[/TEX])

thu đc kq như sau )

KL : [TEX]0< m \leq 1[/TEX]

Chú ý : Nếu phương trình chưa có dạng trên thì ta tìm cách cô lập m đưa về dạng trên.

Alo Alo các cậu poc' tem cho pic của silvery nào )

 

[takitori_c1]

Cậu cho luôn phần bài tập đi
phần này như khảo sát hàm số :d

 

[thanhtungtdvp]

hay day' cho 1 vote nay`
post bai` tap len t lam` voi' t ko vo hocmai.vn 4 thang' roy` hihj mak` hjnh` nhu con` 1 dang nua~ la` co lap dc m ve` 1 ben roy` nhung ben nay` chua m^2 hay m^3 thi` sao nhj? co' ji` pm mjnh` theo y! please_donask_why

 

[silvery21]

hay day' cho 1 vote nay`
post bai` tap len t lam` voi' t ko vo hocmai.vn 4 thang' roy` hihj mak` hjnh` nhu con` 1 dang nua~ la` co lap dc m ve` 1 ben roy` nhung ben nay` chua m^2 hay m^3 thi` sao nhj? co' ji` pm mjnh` theo y! please_donask_why

p/s dạng đó thì fải biến đối đk của x thoaj cậu ah ko làm theo cách BBT đc đâu


Vậy t post bài tập nhé



1: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm

[TEX]\sqrt{x^2+x+1}- \sqrt{x^2-x+1}=m[/TEX]

2:

 

[silvery21]

Tiếp nkz

Tìm m để các phương trình sau có nghiệm

[TEX]\sqrt{x} +\sqrt{9-x} =\sqrt{-x^2+9x+m}[/TEX]

t sẽ giải VD

Bài tập:​

Tìm m để các phương trình sau có nghiệm

a: [TEX]\sqrt[4]{x^4-4x^3+16x+m} + \sqrt{x^4-4x^3+16x+m}=6[/TEX]

b: [TEX]m(\sqrt{x-2} + 2\sqrt[4]{x^2-4}-\sqrt{x+2})= 2\sqrt[4]{x^2-4} [/TEX]

 

[silvery21]

Ứng dụng trong giải PT-BPT-HPT.​

Lý thuyết:

Định lí 1:

Nếu hàm số y=f(x) luôn đb (hoặc luôn ngb) và liên tục trên D thì số nghiệm của pt trên D : f(x)=k không nhiều hơn một và f(x)=f(y) khi và chỉ khi x=y với mọi x,y thuộc D.

Chú ý:* Từ định lí trên, ta có thể áp dụng vào giải phtrình như sau:

Bài toán yêu cầu giải pt: F(x)=0. Ta thực hiện các phép biến đổi tương đương đưa phương trình về dạng f(x)=k hoặc f(u)=f(v) ( trong đó u=u(x), v=v(x)) và ta chứng minh được f(x) là hàm luôn đồng biến (nghịch biến)

Nếu là pt: f(x)=k thì ta tìm một nghiệm, rồi chứng minh đó là nghiệm duy nhất.
Nếu là pt: f(u)=f(v) ta có ngay u=v giải phương trình này ta tìm được nghiệm.
* Ta cũng có thể áp dụng định lí trên cho bài toán chứng minh phương trình có duy nhất nghiệm.

Định lí 2:

Nếu hàm số y=f(x) luôn đb (hoặc luôn ngb) và hàm số y=g(x) luôn ngb (hoặc luôn đb)và liên tục trên D thì số nghiệm trên D của pt: f(x)=g(x) không nhiều hơn một.


Chú ý: Khi gặp pt F(x)=0 và ta có thể biến đổi về dạng f(x)=g(x), trong đó f và g khác tính đơn điệu. Khi đó ta tìm một nghiệm của pt và chứng minh đó là nghiệm duy nhất.

Định lí 3:

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm đến cấp n và pt có m nghiệm, khi đó pt có nhiều nhất là [TEX]m+1[/TEX] nghiệm.

Định lí này là hệ quả của Định lí Roll.

Định lí 4:

Nếu hàm số y=f(x) luôn đồng biến ( hoặc luôn nghịch biến)và liên tục trên D thì [TEX]f(x) > f(y) \Leftrightarrow x>y ( or x<y).[/TEX]

 

[silvery21]

Giải các pt sau:

.

.

.

.

[TEX]5) \sqrt[5]{9x+5}-3\sqrt[7]{137-3x}+4=0[/TEX]

6) [TEX]2\sqrt{4x+1}+\frac{4}{\sqrt{3-x}}+2x^3+3x-32=0[/TEX]

cách giải tq: xét hàm f9x) ; tính f'(x) đb hoặc nghbiến khi đó kluận ngh

 

[08021994]

(1) [/TEX]

làm mà sao thấy lạ quá^^
ĐK: [TEX]x\geq\frac{7-sqrt{57}}{2}[/TEX]
khi đó
(1) [TEX]\Leftrightarrow [/TEX][TEX]sqrt{x +sqrt({7x+2})} [/TEX][TEX]= 4 - sqrt{3x+1}[/TEX]
đặt f(x)= VT, g(x)=VP
ta thấy f(x) đồng biến và g(x) nghịch biến
=> pt có tối đa 1 nghiệm

nhận thấy với x=1 có f(x)=g(x)=2
=> x = 1 là nghiệm duy nhất của pt^^|-)

 

[takitori_c1]

Giải các pt sau:

.

.

Đặt [TEX]f(x)= \sqrt {5 x^3 -1} + \sqrt [3]{{2x-1}} +x-4 =0[/TEX] Trên miền .....................

[TEX]f'(x) = \frac{ 15 x ^2}{2 \ sqrt {5 x^3 -1}} + \frac{1}{3 \sqrt[3]{(2x - 1)^2 } +1 [/TEX]
[TEX]f'(x) > 0[/TEX]
Hàm số y= f(x) đồng biến nên f(x) =0 cò 1 nghiệm duy nhất
Dễ thấy x=1 là nghiệm của pt

 

[kimxakiem2507]

[TEX](x-3)(x+1)+4(x-3)\sqrt{\frac{x+1}{x-3}}=m[/TEX]

Định m để phương trình có nghiệm.

 

[takitori_c1]

[TEX](x-3)(x+1)+4(x-3)\sqrt{\frac{x+1}{x-3}}=m (1)[/TEX]

Định m để phương trình có nghiệm.

TXĐ : x \geq 3 hoặc x\leq -1

Với x\geq3 Ta đc

(1) \Leftrightarrow [TEX](x-3)(x+1)+4\sqrt{(x-3)(x+1)}=m[/TEX]
Đặt [TEX]\sqrt{(x-3)(x+1)} =t ( t\geq0)[/TEX]
Với t\geq0

[TEX](1)\Leftrightarrow t^2 + 4t =m[/TEX]

khảo sát[TEX] f(t) = t^2 + 4t t \geq0[/TEX]
Ta đc m \geq0

Với x\leq-1
[TEX](1) \Leftrightarrow (x-3)(x+1)- 4\sqrt{(x-3)(x+1)}=m[/TEX]
Đặt [TEX]\sqrt{(x-3)(x+1)} =t ( t\geq0)[/TEX]
Với t\geq0

(1)\Leftrightarrow[TEX] t^2 - 4t =m[/TEX]

khảo sát [TEX]f(t) = t^2 - 4t t \geq0[/TEX]
ta đc m \geq -4

Vậyu m \geq-4 thỏa mãn đề bài

 

[silvery21]

Để chứng minh phương trình f(x)=0 có nghiệm duy nhất trên D ta có thể tiến hành theo cách sau
* Chứng minh phương trình f(x)=0 luôn có nghiệm: Để chứng minh điều này, ta cần chứng chứng minh f(x) liên tục trên D và tồn tại hai số a,b sao cho f(a).f(b)<0
* Tiếp theo ta chứng minh f(x) là hàm luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến.

Chú ý:* Nếu chúng ta khảo sát ngay hàm f(x) thì chúng ta không thể có được f(x) là hàm đồng biến, do vậy ta cần hạn chế miền xác định của x. Điều này ta có được là nhờ vào bản thân của phương trình.
*Để chứng minh phương trình f(x)=0 có nghiệm duy nhất trên D ta còn có cách khác đó là khảo sát hàm f(x) trên D, lập bảng biên thiên và từ bảng biến thiên ta suy ra được đồ thị của hàm f(x) chỉ cắt Ox tại một điểm.

Vận dụng bài tập :

cm pt sau có ngh : x^5 - x^2 - 2x -1 =0

 

[quyenuy0241]

cm pt sau có ngh : x^5 - x^2 - 2x -1 =0

1. [tex]Xet':y= x^5-x^2-2x-1 \\ y(0).y(10) <0 \Rightarrow PT-co'-n_o [/tex]

2.

[tex]Dat: 2x-y=t [/tex])

Xét: [tex]f(t)=5.(1+4^t)-5^t-2.10^t [/tex]

Dễ dàng CM được [tex] f'(t) < 0 ,, \forall t [/tex]

[tex]\Rightarrow PT_1-co' -n_o-duy-nhat[/tex]

[tex] f(1)=0 \Rightarrow \Leftrightarrow PT \Leftrightarrow f(2x-y)=0 [/tex]

[tex] 2x-y=1 [/tex]

Thế xuống [tex](2) : y^3+2y+3+ln(y^2+y+1)=0 [/tex]

[tex]Xet: g(a)=a^3+2a+3+ln(a^2+a+1) \\ g'(a) >0 [/tex]

bỏ qua bước tính đạo hàm nhá : sf tính ra nháp roài )

[tex]g(-1)=0 \Rightarrow y=-1 [/tex]

 

[silvery21]

1. [tex]Xet':y= x^5-x^2-2x-1 \\ y(0).y(10) <0 \Rightarrow PT-co'-n_o [/tex]

ý của sf là kon này hã........trình bày thế này là ko ổn đâu nhớ .........sf cứ tính tip' con đạo hàm đi )

cm pt sau có ngh : x^5 - x^2 - 2x -1 =0

đọc kỹ cho đt đoạn này nha

Chú ý:* Nếu chúng ta khảo sát ngay hàm f(x) thì chúng ta không thể có được f(x) là hàm đồng biến, do vậy ta cần hạn chế miền xác định của x. Điều này ta có được là nhờ vào bản thân của phương trình.

p/s kon 2 : t là jj ấy )

 

[puu]

ý của sf là kon này hã........trình bày thế này là ko ổn đâu nhớ .........sf cứ tính tip' con đạo hàm đi )




đọc kỹ cho đt đoạn này nha



p/s kon 2 : t là jj ấy )

[TEX]x^5=(x+1)^2[/TEX]
do đó đk được qui nhỏ hơn về [TEX]x \geq 0[/TEX]
dễ dàng có trên [0; + vô cùng] thì f(x) đb

 

[silvery21]

[TEX]x^5=(x+1)^2[/TEX]
do đó đk được qui nhỏ hơn về [TEX]x \geq 0[/TEX]
dễ dàng có trên [0; + vô cùng] thì f(x) đb

bạn iu @};-

f(x)=x^5 - x^2 - 2x -1

f'(x) = 5x^4 - 2x - 2

x\geq 0 f'(x) >0 ah ................)

cô lại 1 chút đc x>1 )

p/s đêy là đề k D năm bao nhiêu ko nhớ lem'

 

[shinee_cullen]

Ứng dụng trong giải PT-BPT-HPT.​

Lý thuyết:

Định lí 1:

Nếu hàm số y=f(x) luôn đb (hoặc luôn ngb) và liên tục trên D thì số nghiệm của pt trên D : f(x)=k không nhiều hơn một và f(x)=f(y) khi và chỉ khi x=y với mọi x,y thuộc D.

Chú ý:* Từ định lí trên, ta có thể áp dụng vào giải phtrình như sau:

Bài toán yêu cầu giải pt: F(x)=0. Ta thực hiện các phép biến đổi tương đương đưa phương trình về dạng f(x)=k hoặc f(u)=f(v) ( trong đó u=u(x), v=v(x)) và ta chứng minh được f(x) là hàm luôn đồng biến (nghịch biến)

Nếu là pt: f(x)=k thì ta tìm một nghiệm, rồi chứng minh đó là nghiệm duy nhất.
Nếu là pt: f(u)=f(v) ta có ngay u=v giải phương trình này ta tìm được nghiệm.
* Ta cũng có thể áp dụng định lí trên cho bài toán chứng minh phương trình có duy nhất nghiệm.

Định lí 2:

Nếu hàm số y=f(x) luôn đb (hoặc luôn ngb) và hàm số y=g(x) luôn ngb (hoặc luôn đb)và liên tục trên D thì số nghiệm trên D của pt: f(x)=g(x) không nhiều hơn một.


Chú ý: Khi gặp pt F(x)=0 và ta có thể biến đổi về dạng f(x)=g(x), trong đó f và g khác tính đơn điệu. Khi đó ta tìm một nghiệm của pt và chứng minh đó là nghiệm duy nhất.

Định lí 3:

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm đến cấp n và pt có m nghiệm, khi đó pt có nhiều nhất là [TEX]m+1[/TEX] nghiệm.

Định lí này là hệ quả của Định lí Roll.

Định lí 4:

Nếu hàm số y=f(x) luôn đồng biến ( hoặc luôn nghịch biến)và liên tục trên D thì [TEX]f(x) > f(y) \Leftrightarrow x>y ( or x<y).[/TEX]

khổ quá chưa được học đến phần này thành thử đọc vào chẳng hiểu mô tê gì cả @-)

 

[silvery21]

khổ quá chưa được học đến phần này thành thử đọc vào chẳng hiểu mô tê gì cả @-)

thế cậu ko hiểu đoạn nào )

có thể đưa bài tập lên mà