[toán12]tim gia tri max ,min cua dien tich

[lenhuquynh95]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho hình vuông ABCD cạnh a.M trên BC sao cho MB=x ,N trên CD .sao cho [TEX]\hat{MAN} =45^o[/TEX].tìm giá trị lớn nhất ,nhỏ nhất của diện tích tam giác MAN
CÁC BẠN LÀM NHANH GIÚP MÌNH VỚI NHA! .....THANKS CÁC BẠN NHIỀU

 

[noinhobinhyen]

Hạ đường cao AH của tam giác AMN , ta nghĩ đến việc chứng minh cho AH không đổi và diện

tích tam giác AMN sẽ chỉ phụ thuộc vào độ dài MN


+ Chứng minh AH không đổi :

Qua A kẻ AK vuông góc AM (K thuộc đường thẳng CD)

Có $\Delta AKD = \Delta AMB \Rightarrow AK=AM$

Từ đó $\Rightarrow \Delta AKN = \Delta AMN$

vậy thì 2 đường cao của 2 tam giác này cũng bằng nhau

$AH=AD=a$

+Tìm max,min của MN

-Tìm min MN

Ta có AN là trung trực KM nên $MN \geq \dfrac{KM}{2} \geq \dfrac{a}{2}$

-Tìm max MN

Ta có MN=MH+NH=BM+DN

$\Rightarrow 2MN=MN+BM+DN \leq MC+NC+BM+DN = 2a$

maxMN=a

 

[lenhuquynh95]

cos [TEX]\hat{BAM}[/TEX] =[TEX]\alpha[/TEX][TEX]\in [0,45^0][/TEX]
[TEX]\hat{CAM}=\hat{A2}[/TEX]
[TEX]\hat{BAM}=\hat{A1}[/TEX]
[TEX]\hat{CAN}=\hat{A3}[/TEX]
[TEX]\hat{NAD}=\hat{A4}[/TEX]
ta co:[TEX]\hat{A1}=\hat{A3}[/TEX](cùng tạo với [TEX]\hat{A2}[/TEX]một góc45^0)
Tương tự[TEX]\hat{A2}=\hat{A4}[/TEX]
diện tích tam giac S.AMC=[TEX]\frac{1}{2}[/TEX]*[TEX]AM*AC*sin\hat{A2}=\frac{1}{2}*AB*MC[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow\sqrt[2]{a^2+x^2}*a\sqrt[2]{2}*sin\hat{A2}=a(a-x)[/TEX][TEX]\Leftrightarrow sin\hat{A2}=\frac{a-x}{\sqrt[2]{2*(a^2+x^2}}[/TEX][TEX]\Leftrightarrow sin\hat{A4}=\frac{\sqrt[2]{AN^2-a^2}}{AN}[/TEX][TEX]\Leftrightarrow \frac{(a-x)^2}{2*(a^2+x^2)}=\frac{AN^2-a^2}{AN^2}[/TEX][TEX]\Leftrightarrow AN^2(a+x)^2=2a^2*(a^2+x^2)[/TEX][TEX]\Leftrightarrow AN=\frac{a \sqrt[2]{2(a^2+x^2)}}{a+x}[/TEX]
ta có S.MAN=[TEX]\frac{1}{2}*AM*AN*sin 45^0[/TEX][TEX]\Leftrightarrow\frac{1}{2}*\frac{a*\sqrt[2]{2*(a^2+x^2)}}{a+x}*\frac{\sqrt[2]{2}}{2}*\sqrt[2]{a^2+x^2}=\frac{1}{2}\frac{a(a^2+x^2)}{a+x}[/TEX]=f(x)
f(x)=[TEX]\frac{1}{2}*\frac{a(a^2*x^2)}{a+x}[/TEX]với x[TEX]\in[0.a][/TEX]
[TEX]f(x)^\prime=0[/TEX][TEX]\Leftrightarrow \left[\begin{x=a\sqrt[2]{2}-a}\\{x=-a-a\sqrt[2]{2}-a (loai)}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow[/TEX]f(0)=[TEX]\frac{a^2}{2}[/TEX](max)
f(a[TEX]\sqrt[2]{2}-a)=a^2(\sqrt[2]{2}-1)[/TEX](min)