[toan12] BĐT

[muathu1111]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho [TEX]x,y,z \geq 0 ; x^2+y^2+z^2 = 1[/TEX]
C/M: [TEX]xy + yz + 2zx \leq \frac{\sqrt{3} + 1}{2}[/TEX]

 

[duynhan1]

Cho [TEX]x,y,z \geq 0 ; x^2+y^2+z^2 = 1[/TEX]
C/M: [TEX]xy + yz + 2zx \leq \frac{\sqrt{3} + 1}{2}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 2 xy + 2 yz + 4 zx \le \sqrt{3}+1[/TEX]

Ta có :
[TEX]2\frac{x}{a} ay \le\frac{1}{a^2}x^2 + a^2 y^2 [/TEX]

[TEX]2\frac{z}{a} ay \le\frac{1}{a^2}z^2 + a^2 y^2 [/TEX]

[TEX]4xz \le 2 (x^2+y^2) [/TEX]

Chọn a sao cho :
[TEX] 2+ \frac{1}{a^2} = 2a^2 \Leftrightarrow 2a^4 - 2a^2 - 1 = 0 \\ \Rightarrow a = \sqrt{\frac{1+\sqrt{3}}{2}}[/TEX]

Khi đó :

[TEX]2xy+ 2yz + 4xz \le 2a^2 ( x^2+y^2+z^2) = \sqrt{3}+1 [/TEX]

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi :

[TEX]\left{ x=z =a^2 y \\ x^2+y^2+z^2=1 [/TEX]